定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数?un(x)在每一项都有连续的导函数，x0∈[a,b]为?un(x)的收敛点，且?u?n(x)在[a,b]上一致收敛，则
?d?du(x)=??un(x)?. ???dxn??dx证：设?u?n(x)在[a,b]上一致收敛于S*(x)，∵u’n(x)在[a,b]上连续， 由定理13.12知，S*(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，?x∈[a,b]， 有?aS*(t)dt=?a?u?n(t)dt=??au?n(t)dt =?un(x)-?un(a)=S(x)-S(a). 等式两端对x求导得：S’(x)=S*(x)=?u?n(x) ，得证！
例3：设un(x)=
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ln(1+nx), n=1,2,…. 证明：函数项级数?un(x)在[0,1]3nxbx上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n，易见un(x)在[0,1]上递增，且当t≥1时，有ln(1+t2) ln(1+n)<·n=, n=1,2,… 332nnn1收敛，∴?un(x)在[0,1]上一致收敛. n2由每一个un(x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积. 2x2nx12n2x又u’n(x)=3=≤≤, n=1,2,…知 22222222n(1?nx)nn(1?nx)n(1?nx)?u?(x)在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微. n 例4：证明：函数ζ(x)=?1 在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. xnn?1?k11k1(k)klnn证：记un(x)=x, un(x)=(ln)x=(-1)x, k=1,2,…. nnnn对任意 lnx∈[a,b]?(1,+∞)，有|un(k)(x)|= knnxlnkn≤a, k=1,2,…. nlnknlnkn由lim(a-1)/2=0知，当n充分大时，有(a-1)/2<1，从而 n??nn1lnknlnkn11?=<, 又收敛， ?(a?1)/2(a-1)/2x(a?1)/2(a?1)/2nnnnn)∴?u(x)在[a,b]上一致收敛，从而?u(k)在(1,+∞)上内闭一致收敛. n(x(k)nn?1n?1??∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ(x)=(-1) 习题 1、讨论下列函数列在所定义的区间上： (k) klnknnx, k=1,2,…. a. {fn}与{f’n}的一致收敛性；b. {fn}是否有定理13.9~11的条件与结论. xn2x?n(1)fn(x)=, x∈[0,b]；(2)fn(x)=x-, x∈[0,1]； nx?n(3)fn(x)=nxe-nx2, x∈[0,1]. 2x?n=1=f(x)； x?n解：(1)记limfn(x)=nlim??∞n??∞x?[0,b]sup|fn(x)-f(x)|=supx→0 (n→∞)，∴{fn}在[0,b]上一致收敛性； x?[0,b]x?nn=g(x)； 2(x?n)n→0 (n→∞)，∴{f’n}在[0,b]上一致收敛性. 2x?[0,b](x?n)记limf’n(x)=nlim??∞n??∞x?[0,b]sup|f’n(x)-g(x)|=sup又∵fn(x)= n2x?n和f’n(x)=, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， 2(x?n)x?n∴{fn}有定理13.9~11的条件与结论. ?xn?(2)记limfn(x)=nlim?x-n??∞n??∞????=x=f(x)； ?xnsup|fn(x)-f(x)|=sup→0 (n→∞)，∴{fn}在[0,1]上一致收敛性； x?[0,1]nx?[0,1]?0，x? 1 记g(x)=limf’n(x)=lim(1-x)=?； n??∞n??∞1，0?x?1?n-1 ∵{f’n(x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f’n}在[0,1]上不一致收敛性. xn又fn(x)=x-, n=1,2,… 在[0,1]上都连续， n∴{fn}有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f’(x)=x’=1≠limf’n(x)，∴{fn}也不具有13.11的条件. n??∞nxe-nx=0=f(x)； (3)记limfn(x)=nlim??∞n??∞2x?[0,1]sup|fn(x)-f(x)|=supnxe-nx=n·x?[0,1]21?n(e2n1/2n)2= n2e1/2→∞ (n→∞)， ∴{fn}在[0,1]上不一致收敛性； 2 ne-nx(1-2nx)=?记g(x)=limf’n(x)=nlim??∞2n??∞ 0?x?1?0，； ???，x?0 ∵{f’n(x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f’n}在[0,1]上不一致收敛性. 从而{fn}不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{fn}有定理13.9的结论. -nxnxe∵nlimdx=nlim??∞?0??∞1211?111-nx2?12 limfn(x)dx=0. lim?ed(nx)==≠???n?00n??∞n??∞22e?22?又{f’n(x)}在x=0不收敛；∴{fn}不具有定理13.10~11的结论. 2、证明：若函数列{fn}在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{fn}在[a,b] 上一致收敛. 证：设f’n(x)?g(x) (n→∞), x∈[a,b]，则?ε>0，?N1>0，当n>N1时， 对一切t∈[a,b]，有|f’n(t)-g(t)|< ε； 2(b?a)又fn(x)点x0收敛，∴对上述的ε>0，?N2>0，当n>N2时，有|fn(x0)-f(x0)|<. ∵对任意x,x0∈[a,b]有fn(x)=fn(x0)+?xfn?(t)dt， 0ε2x∴f(x)=limfn(x)=f(x0)+?xg(t)dt. 取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有 n??0x?(t)-g(t)?dt | ∴|fn(x)-f(x)|=|fn(x0)-f(x0)+?x?fn0x?(t)-g(t)dt |<ε. 得证. ≤|fn(x0)-f(x0)|+|?xfn0x xxn-13、设S(x)=?2, x∈[-1,1]，计算积分?0S(t)dt. n?1n??xn-1xn-11解：∵2≤2, x∈[-1,1]，由M判别法知?2在[-1,1]上一致收敛. nnn?1nn-1??xxtxn-1xn又2(n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴?0S(t)dt=??02dt=?3. nnn?1n?1n 4、S(x)=?n?1?cosnxnn, x∈R，计算积分?0S(t)dt. 1nnx解：∵又 cosnxnncosnxnn≤ , x∈R，由M判别法知?n?1?cosnxnnx在R上一致收敛. dt=?n?1?(n=1,2,…)在R上连续，∴?0S(t)dt=??0n?1x?cosntnnsinnxn2n. 5、S(x)=?ne-nx, x>0，计算积分?ln2S(t)dt. n?1?ln3