第十三章 函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质

定理13.8：设函数列{fn}在(x,x0)∪(x0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n，

n?x0limfn(x)=an，则liman和limf(x)均存在且相等.

n??n?x0证：?ε>0，∵{fn}一致收敛于f(x)，∴?N>0，当n>N和任意自然数p， 对一切x∈(x,x0)∪(x0,b)有，|fn(x)-fn+p(x)|< ε，

∴|an-an+p|=lim|fn(x)-fn+p(x)|≤ε，∴{an}是收敛数列. 设liman=A，

n?x0n??则?ε>0，?N>0，当n>N时，对一切x∈(x,x0)∪(x0,b)同时有， |fn(x)-f(x)|<和|an-A|<. 特别取n=N+1，有

|fN+1(x)-f(x)|<和|aN+1-A|<. 又limfN+1(x)=aN+1，∴?δ>0，

n?x0ε3ε3ε3ε3当0<|x-x0|<δ时，|fN+1(x)-aN+1|<，从而当x满足0<|x-x0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|fN+1(x)-f(x)|+|fN+1(x)-aN+1|+|aN+1-A|<++=ε， 即nlimf(x)=A，得证！ ?x0ε3ε3ε3ε3

limfn(x)=limlimfn(x). 注：定理13.8指出：nlim?xn??n??n?x00

定理13.9：(连续性)若函数列{fn}在区间I上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f在I上也连续.

证：设x0为I上任一点，∵nlimfn(x)=fn(x0)，由定理13.8知， ?x0n?x0limf(x)存在，且limf(x)=limfn(x0)=f(x0)，∴f(x)在I上连续.

n?x0n??

注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函数

不连续，则此函数列在区间I上不一致收敛. 如： 函数列{xn}各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=?在x=1时不连续，所以{xn}在(-1,1]上不一致收敛.

推论：若连续函数列{fn}在区间I上内闭一致收敛于f，则f在I上连续.

定理13.10：(可积性)若函数列{fn}在[a,b]上一致收敛，且每一项都连

limfn(x)dx=lim?fn(x)dx. 续，则?an??n??abb?0，|x|?1?1，x?1

证：设f是{fn}在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f在[a,b]上连续， ∴fn (n=1,2,…)与f在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上fn(x)?f(x) (n→∞), ∴?ε>0，?N>0，当n>N时，对一切x∈[a,b]都有|fn(x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N时，有

?

bafn(x)dx??f(x)dx=

abbb?ba(fn(x)?f(x))dx≤?fn(x)?f(x)dx≤ε(b-a).

abblim?fn(x)dx=?f(x)dx=?limfn(x)dx. 得证！ ∴nan??a??a例1：举例说明当{fn(x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.

? ?2nanx，?解：如fn(x)=??2an-2nanx，??0， ??12n11?x?, n=1,2,…. 2nn1?x?1 n0?x?其图像如图：{fn(x)}是[0,1]上的连续函数列，

且?x∈[0,1]，limfn(x)=0=f(x). 又sup|fn(x)-f(x)|=an，

n??x?D∴{fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：liman=0.

n??∵?0fn(x)dx=

111aanlimn=0. ，∴?0fn(x)dx→?0f(x)dx=0的充要条件是：n??2n2n当an≡1时，{fn(x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当an=n时，{fn(x)}不一致收敛于f(x)， 且?0fn(x)dx≡不一致收敛于?0f(x)dx=0.

定理13.11：(可微性)设{fn}为定义在[a,b]上的函数列，若x0∈[a,b]为{fn}的收敛点，{fn}的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f’n}在[a,b]上一致收敛，则

dd??fn(x)?. limfn(x)=?limdxn???n??dx?1121??证：设limfn(x0)=A，f’n?g (n→∞), x∈[a,b]，则对任一x∈[a,b]，总有

n??fn(x)=fn(x0)+?xfn?(t)dt. 两边对n→∞取极限得：limfn(x)=A+?xg(t)dt，

n??00xx又limfn(x)=f(x)，∴f(x)=A+?xg(t)dt. 两边微分得证！ n??0x

推论：设函数列{fn}定义在区间I上的，若x0∈I为{fn}的收敛点，且{f’n}在I上内闭一致收敛，则f在I上可导，且f’(x)=limfn?(x).

n????

例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列fn(x)=

1nx ln(1+n2x2)及f’n(x)=, n=1,2,… 2n1?n2x2n??n??在[0,1]上都收敛于0，即limfn(x)=limf’n(x)=0，

∴在[0,1]上，limf’n(x)=(limfn(x))’成立.

n??n??又由limmax|f’n(x)-f’(x)|=nlim??∞n??∞x?[0,1]nx1=, 知 2nx2导函数列{f’n(x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有

sup|f’n(x)-f’(x)|=supnxn≤→0 (n→∞), 2222x?[δ ,1]1?nx1?nδn??n??x?[δ ,1]

∴{f’n}在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，limf’n(x)=(limfn(x))’成立.

定理13.12：(连续性)若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：

?limu???n?x0n??un(x)?. (x)??=nlim??x0证：设x0为[a,b]上任意一点，?un(x)在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则?ε>0，?N>0，当n>N时，对一切x∈[a,b]，有

|S(x)-Sn(x)|<, |Sn(x0)-S(x0)|<, 又un(x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N，Sn(x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，?δ>0， 当x∈[a,b]，且|x-x0|<δ时，|Sn(x)-Sn(x0)|< ，

∴当x∈[a,b]时，|S(x)-S(x0)|=|S(x)-Sn(x)+Sn(x)-Sn(x0)+Sn(x0)-S(x0)| ≤|S(x)-Sn(x)|+|Sn(x)-Sn(x0)|+|Sn(x0)-S(x0)|<ε. 即S(x)在x0连续， 从而在[a,b]上连续. 得证！

定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数?un(x)在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则??aun(x)dx =?a?un(x)dx.

bbε3ε3ε3