?s???

3．试证明

1J2?I2?I123

123J3?I3?I1I2?I1327式中，I1、I2、I3为应力张量的第一、第二、第三不变量，J2、J3为应力偏张量的第二、 第

三不变量。

4．试证明

?I2?J2??sij ??ij?sij提示：把J2表示成各剪应力分量的对称形式，即将J2改写为

1222222222 J2?[(?x??y)?(?y??z)?(?z??x)?3(?xy??yx??yz?zy??zx??xz)]

65．试证明：除了三个主应力全相等的情况外，八面体面上的剪应力永远小于最大剪应力。 6．对单向拉伸，单向压缩，纯剪切几种应力状态，分别求： （a）八面体面上的正应力?8和剪应力?8；

（b）应力张量第一不变量I1和应力偏张量第二不变量J2。 由以上结果，?8与I1和?8与J2各有何关系？ 7．对???1的应力状态绘出三维应力圆形状（圆的绝对大小可随意选定），并在其上找出对4应于八面体面上应力的点。

*8．试求下列二种复杂剪切情况下的不变量I1、I2、I3，并求出各主应力及八面体面剪应力。

（a）?x??y??z??zx?0,?xy??yz??。 （b）?x??y??z?0,?xy??yz??zx??。 9．某点应力张量为：

?10 0 15??ij??0 20 ?15? MN/m2

????15 ?15 0??试分解为球张量及偏张量，并计算其偏张量的第二不变量J2。

10．某点应力张量为：

?100 40 ?20??ij??40 50 30? MN/m2

?????20 30 ?10??试求该点主应力?1、?2、?3及主剪应力?1、?2、?3的大小。

11．在下面两种情况下（均给出主应力），分别求出八面体面上的正应力及剪应力。

222（a）?1?75MN/m,?2?50MN/m,?3??50MN/m。 （b）?1??2?50MN/m,?3??100MN/m。

22 5

12．在π平面上有矢量OS长a，与x轴夹角??= 45°。问它所代表的沿应力主轴1、2、3方向的应力偏量s1、s2、s3各为多少?能确定应力球张量的大小吗?

13．已知应力状态?1?5a, ?2?a, ?3?0， 求它在π平面上表示应力偏量的矢量OS的长度和方位。

14．薄壁圆筒两端封闭时受到内压p，轴向拉力P，扭矩T的同时作用，写出Tresca屈服条件及Mises屈服条件。

15．薄壁圆筒两端封闭时受到内压p，轴向拉力P，扭矩T的同时作用，应如何实现简单加载？ 16．薄壁圆筒两端封闭时受到内压p，轴向拉力P，扭矩T的同时作用，设材料为强化材料，按Mises屈服条件如何实现中性变载?

17．封闭薄壁球受均匀内压p，写出Mises屈服条件及Tresca屈服条件。

18．薄平片在面内受各向均匀拉伸，写出Tresca屈服条件及Mises屈服条件。在此受力情况下最大剪应力作用在什么方向?

19．在x、y平面内的薄平片，在x方向受均匀拉应力q。在y方向受均匀压应力p，写出Tresca屈服条件及Mises屈服条件。在此受力情况下，最大剪应力作用在什么方向?

20．在平面应力问题中，?z??yz??zx= 0。试将Mises屈服条件及Tresca屈服条件分别用。 ?x、?y、?xy表示（规定单向拉伸的屈服应力为?s）

21．在平面应变问题中，?z??yz??zx= 0，如果取波松比??Mises屈服条件及Tresca屈服条件。

22．对下图平面应力状态（?3= 0），先加?1由零至?s，材料屈服。此时再加上?2?1，试用?x、?y、?xy写出2保持不变），按Tresca及Mises两种屈服条件判断，加上?2时是加载还是卸载（材料是理想塑性材料）?

23．对下图平面应力状态（?3= 0），如果已加上?1??2??s，材料屈服。再施加无限小应力增量d?1及d?2。问当d?1=－d?2时是加载还是卸载（材料是强化材料）？分别按Mises屈服条件及Tresca屈服条件来考虑。

1?s（?141??24．试证明当波松比时，单向拉伸时的应变强度?i等于拉伸方向上的应变ε。

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