第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第1课 时综合法
A级 基础巩固
一、选择题
1
1．设0 1－xA．a B．b C．c D．不能确定 解析：∵0 1－x2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( ) 1＋xA．b 1C. b B．－b 1D．－ b 解析：f(x)定义域为(－1，1)， ?1－a?－11＋a1－a??f(－a)＝lg＝lg＝－lg＝－f(a)＝－b. 1－a1＋a?1＋a? 答案：B 3．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( ) A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．与n取值有关 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5 又a1＝S1＝2×12－3×1＝－1适合上式． ∴an＝4n－5(n∈N*)，则an－an－1＝4(常数) 故数列{an}是等差数列． 答案：B 4．(2014·四川卷)若a>b>0，c c B.ad D.ac 解析：法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 则ac＝－1，b d ＝－1，排除选项C，D； 又a3d＝－2，bc＝－23，所以ab d －d>－c>0. 又a>b>0，所以a－d>b－c ，所以ab d 答案：B 5．在△ABC中，已知sin Acos A＝sin Bcos B，则该三角形是( ) A．等腰三角形 C．等腰直角三角形 B．直角三角形 D．等腰或直角三角形 解析：由sin Acos A＝sin Bcos B得sin 2A＝sin 2B， π 所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.所以该三角 2形是等腰或直角三角形． 答案：D 二、填空题 6．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法． 解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法． 答案：综合法 7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)． 解析：在△ABC中，A>B?a>b ab由正弦定理＝，从而sin A>sin B. sin Asin B因此A>B?a>b?sin A>sin B，为充要条件． 答案：充要 11 8．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为 ab________． 解析：3是3a与3b的等比中项?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1， a＋b11 因为a>0，b>0，所以ab≤＝?ab≤， 224 11a＋b11 所以＋＝＝≥＝4. ababab1 4答案：4 三、解答题 9．已知a>0，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0 所以(b2＋c2)a≥2abc 又因为b>0，c2＋a2≥2ac 所以b(c2＋a2)≥2abc. 因此a(b2＋c2)＋bc(c2＋a2)≥4abc. 10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x) ?1???x＋的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f2?为偶函数． ? 证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称． ∴f(x＋1)＝f(－x) 1 则y＝f(x)的图象关于x＝对称 2∴－ b1 ＝，∴a＝－b. 2a2 2 ?1?2a??x－则f(x)＝ax－ax＋c＝a2?＋c－4 ??1?a2 ??x＋∴f2?＝ax＋c－4为偶函数． ? B级 能力提升 1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )