第5-6章 统计量及其抽样分布

5.1正态分布

5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。

概率密度曲线图

例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量

如果随机变量X的概率密度为

1f(x)?e2???(x??)22?2,???x??

则称X服从正态分布。

2X:N(?,?)，读作：随机变量X服从均值为?，方差为?2记做

的正态分布 其中，

??????，是随机变量X的均值，??0是是随机变量X

的标准差

5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点：

f(x)?0,即整个概率密度曲线都在x轴的上方。

曲线

f(x)相对于x??对称，并在

x??处达到最大值，

1

f(?)?12??。

?1＜?2＜?3

曲线的陡缓程度由

?决定：

?越大，曲线越平缓；?越小，曲线越陡峭当

x

趋于无穷时，曲线以

x轴为其渐近线。

标准正态分布 当

??0,??1时，

x2f(x)?1?22?e，

???x??

称

N(0,1)为标准正态分布。

2

标准正态分布的概率密度函数：

?(x)

标准正态分布的分布函数：

?(x)

任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布

设

X:N(?,?),则Z?X:N(?1,?12)与变量

2X???:N(0,1)

相互独立,则有

变量

2Y:N(?2,?2)X+Y:N(?1+?2,?+?)

5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值

2122?(?x)?1??(x)

例：设（1）(2) (3)

X:N(0,1)，求以下概率

P(X?1.5)

P(X?2)

P(?1?X?3)

3

(4)

P(X?2)

P(X?1.5)???(t)dt??(1.5)?0.9332

??1.5解：

（1）(2)

P(X?2)?1?P(X?2)?1??（2）?1?0.9773?0.0227 (3)

P(?1?X?3)?P(X?3)?P(X??1)??(3)??(?1) ??(3)?(1??(1))?0.9987?(1?0.8413)?0.84P(X?2)?P(?2?X?2)??(2)??(?2)(4)

??(2)?(1??(2))?2?(2)?1?0.9545

一般，若

X:N(0,1)，则有

P(a?X?b)??(b)??(a)

P(X?a)?2?(a)?1

例 设（1）(2)

X:N(5,3)，求以下概率

2P(X?10)

P(2?X?10)

（3）

P(2?X?8)

P(X?5?6)

4

（4）