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该方法就是用以像素(x,y)为中心的邻域Sxy中的像素灰度中值来表示f(x,y) f(x,y)?sec{g(s,t)}
(s,t)?Sxy?? (1.9)
5.最大值最小值滤波（统计排序滤波类）
统计学中，除了中值排序外，还有其他方法，比如取最大值来代替中值
?f(x,y)?max{g(s,t)}
(s,t)?Sxy? (1.10)
同样也可以采用最小值： f(x,y)?min{g(s,t)}
(s,t)?Sxy以上几种传统的空间域去噪方法：算术均值滤波，集合均值滤波，谐波均值滤波，中值滤波，最大值最小值滤波。这些方法理论发展的较为成熟，数字分析简单，对滤波与信号不相关的噪音效果较明显，但本身存在着明显的缺陷，需要知道噪音的先验统计知识，不能保留图像细节等。这些方法在除噪音的同时一般都会损失目标图像中的高频信息，引起边缘和纹理的模糊。所以在去噪的过程中，存在抑制噪音和保留边缘之间的矛盾，为了解决两者之间的矛盾，近年来提出了一种新的有效地去除噪音，保留边缘的方法——偏微分方程的方法，基于偏微分方程的图像去噪方法使图像处理领域迈向了一个新的台阶[3]。 1.2.2 现代图像去噪方法
在图像处理领域，采用偏微分方程方法是近些年发展起来的新兴领域。现已积累了丰富的研究成果，并显示出强大的生命力。一方面得益于偏微分方程作为基础数学的一个重要分支，即已经形成的理论体系和微分方程数值方法；另一方面也得益于传统的图像处理技术所积累的经验。
偏微分方程主要针对底层图像处理，在图像去噪方向取得了令人满意的效果。偏微分方程具有各向异性的特点，应用在图像去噪中，既可以去除噪音，又能保持边缘。基于PDE图像去噪模型的发展中出现了许多的主流模型，本文结合研究内容列举了其中的几个典型模型。 1.3 图像去噪模型的评价标准
去噪效果的评价标准，通常从两个方面去评判：
一、目测法，用人的眼睛观察，这种方法虽然具有一定的主观性，但是一种去噪模型是否具有实用性，首先要通过眼睛的考验；二、根据一些客观的评价标准，这里定义了一些评价优劣的计算公式。
设I是大小为M?N的图像，I为处理后的图像，下面定义了去噪模型的三个客观评价依据： 1.信噪比。信噪比的单位是分贝(db)，其定义为：
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MN??2??I(i,j)???? (1.11)
SNR?101g?MNi?1j?1??2????(I(i,j)?I(i,j))???i?1j?1?去噪后，信噪比越大，则表明去噪效果越好[4]。
2.峰值信噪比(PSNR,PeakSignal?to?NoiseRatio)。设图像的分辨率为M?N，则峰值信噪比为：
PSNR(db)?101g2552?M?N??(I(i,j)?I(i,j))i?1j?1MN?
2 (1.12)
去噪后，峰值信噪比越大，则表明去噪效果越好。
3.均方根误差MSE。均方根误差是指去噪后的估计信号与原始信号之间的均方误差。定义如下：
?1MNMSE?(I(i,j)?I(i,j))2 ??MNi?1j?1 (1.13)
均方根误差RMSE为开方，即
RMSE?1MN??(I(i,j)?I(i,j))i?1j?1MN?2 (1.14)
均方误差越小，则去噪图像与原始图像的近似度越高，即去噪的效果越好。
§2基于偏微分方程的图像去噪模型
2.1 线性均匀扩散模型 2.1.1 模型的建立
线性均匀扩散模型，即常见的热传导扩散方程。使用偏微分方程处理图像是根据运动的观点进行研究的，这可以追溯到热传导方程的初始值问题:[5]：
??u(x,y,t)???u(x,y,t)(x,y)?R2 ??t??u(x,y,0)?u0(x,y)此方程的解可以表示为Gaussian函数与u0(x,y)的卷积，即
(2.1)
u(x,y,t)?G?(x,y)*u0(x,y) (2.2)
其中：
x2?y24?G?(x,y)?1e2???是高斯函数，其中?代表一个尺度参数。
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为了求解这个微分方程，取空间步长h?lJ和时间步长??TN，其中J,N都是自然数。用两足平行直线
?x?xj?jh(j?0,1,.J).和.t?tn?n?(n?0,1,...,N)将矩阵域
G?{0?x?l;0?t?T}分割成矩阵网格，网格节点为(xj,tn)。以Gh表示网格内点集合，即位于
开矩形G的网点集合；Gh表示所有位于闭矩形G的网点集合；?h?Gh?Gh是网格界点集合,如下图。
???
图2-1 热传导方程网点集合
其次，用unj表示定义在网点(xj,tn)上的函数，0?j?J,0?n?N。 2.1.2 向前差分格式
用适当的差商代替热传导方程中的偏微商，即可得到最简单的差分格式：向前差分格式，即显格式[6]。
?1un?unjj??annunj?1?2uj?uj?1h2?fj
(2.3)
nnfj?f(xj)，u0j??j??(xj)u0?uJ?0，
2其中j?1,2,...,J?1,n?0,1,...,N?1。以r?a?h表示网比。为了便于计算，将第n层值在等式
右边，第n?1层值在等式左边，即可得到
?1nnun?runjj?1?(1?2r)uj?ruj?1??fj
(2.4)
0nn取n?0，利用初值uj??j和边值u0?uJ?0，根据上式算出第一层u1j，由上式取n?1，又可利
用uj和边值，由上式算出uj。同样的方法逐渐计算下去，即可逐层求出所有uj，并视uj为精确解
12nnu(xj,tn)的近似值。由于第(n?1)层值通过第n层值来计算，无需解线性代数方程组，如此的差分
格式成为显格式。将上式看成网点(xj,tn)处的差分方程，它联系第(n?1)层的点(xj,tn?1)和第n层的点(xj?1,tn)，(xj,tn)，(xj?1,tn)，其分布如图所示四个点：
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2.1.3 向后差分格式
向前差分格式虽然计算简单，但是效果并不是最好的。下面我们来研究向后差分格式，即隐格式[7]。
?1un?unjj??a?1n?1?1un?unj?1?2ujj?1h2?fj
(2.5)
nnu0j??j??(xj)u0?uJ?0
其中j?1,2,...,J?1,n?0,1,...,N?1。将上式改写为
?1n?1n?1n?run?(1?2r)u?ru?uj?1jj?1j??fj
(2.6)
112令n?0,1,2,...,则可利用u0j和边值确定uj，利用uj和边值确定uj，以此类推。现在第(n?1)层的
值不能用第n层值明显标示，而是由线性代数方程组（2.1.6）确定，如此的差分格式成为隐格式。 2.1.4 交替方向隐格式
取空间步长h?lM，时间步长??0，作两组平行于坐标轴的网线：x?xj?jh，
y?yk?kh，j,k?0,1,...,M，将区域0?x,y?l分割成M2个小矩形。第一个交替方向隐格式法
(ADI)是Peaceman和Rachford(1955)提出的，他们把由第n层到第n?1层计算分成两步：先由
第n层到第n?12层，对uxx用向后差分逼近，对uyy用向前差分逼近，然后由第n?12到第n?1层，对uxx用向前差分逼近，对uyy用向后差分逼近，于是得到如下交替方向隐格式格式[8]：
ujk?unjkn?12?2un?1jk1?1?2n?22n??2??u??uxjkyjk?， ?h???ujkn?12?21?1?2n?22n?1??2??u??uxjkyjk?， ?h?? (2.7)
其中j,k?1,2,...,M?1.n?0,1,2...,M?1.j,上标用n?12表示t?tn?1?(n?12)?取值。假定第n2层的ujk已求得，则由上第一个式子求出ujknn?12，这只需按行(j?1,2,...M?1)解一些具三对角系数
n?1矩阵的方程组；再由上第二个式子求出ujk，这只需按列(k?1,2,...M?1)解一些具三对角系数矩
阵的方程组，所以计算是容易实现的。
对任何r?0,|G|?1，故交替方向隐格式法绝对稳定。总之，在计算量、阶段误差的阶和稳定性方面，交替方向隐格式法都是很好的。
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