2017-2018学年沪科版九年级数学下册教案

合理转化已知条件，得出结论．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点二：切线的判定 【类型一】 判定圆的切线 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，

求证：CD是⊙O的切线．

[来源:Zxxk.Com]

证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．

方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 切线的性质与判定的综合应用

︵︵︵

如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上的两点，且AF＝FC＝CB，连接AC、

AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD＝23，求⊙O的半径． 分析：(1)连接OC，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，︵︵再根据等量代换得到∠ACO＋∠ACD＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；(2)由AF＝FC＝︵

CB推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．

︵︵

(1)证明：连接OC，BC.∵FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；

︵︵︵

(2)解：∵AF＝FC＝CB，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝23，∴AC＝43.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝43，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4.

方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

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三、板书设计 1．切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径． 2．切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

[来源学科网ZXXK][来源学科网]

教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.

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24.4 直线与圆的位置关系

第3课时 切线长定理

1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点，难点)； 2．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．

[来源:Zxxk.Com]

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．

二、合作探究

探究点：切线长定理及应用

【类型一】 利用切线长定理求线段的长 [来源:Z&xx&k.Com][来源:Zxxk.Com]

如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、

︵

F，切点C在AB上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．

解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长是PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.

方法总结：在求线段长度时，可以运用切线长定理进行转化，根据题设条件的提示，连接切点与圆心，实现等量转化．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用切线长定理求角的大小

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝

70°，那么∠OPA的度数是________度．

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解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA1

＝∠APB＝20°.故答案为20. 2

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等三角形的判定，可得到PO平分∠APB.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面

上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝8cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．

[来源学_科_网]

解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝8，∠POA＝30°，∴OP＝83(cm)，即铁环的半径为83cm.

方法总结：运用切线长定理解决实际问题，要选择合适的数学模型，解题时要结合切线长的性质等求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 三、板书设计 切线长定理

过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．

[来源学科网]

教学过程中，引入切线长定理后，要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题．使学生在练习中巩固知识，提升学生的独立思考能力.

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