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2017-2018学年沪科版九年级数学下册教案

合理转化已知条件,得出结论.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 探究点二:切线的判定 【类型一】 判定圆的切线 如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°,

求证:CD是⊙O的切线.

[来源:Zxxk.Com]

证明:连接OC,∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°,∴∠1=60°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.

方法总结:切线的判定方法有三种:①利用切线的定义,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线;③经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型二】 切线的性质与判定的综合应用

︵︵︵

如图,AB是⊙O的直径,点F、C是⊙O上的两点,且AF=FC=CB,连接AC、

AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为D.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)若CD=23,求⊙O的半径. 分析:(1)连接OC,由弧相等得到相等的圆周角,根据等角的余角相等推得∠ACD=∠B,︵︵再根据等量代换得到∠ACO+∠ACD=90°,从而证明CD是⊙O的切线;(2)由AF=FC=︵

CB推得∠DAC=∠BAC=30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长,进而求得⊙O的半径.

︵︵

(1)证明:连接OC,BC.∵FC=CB,∴∠DAC=∠BAC.∵CD⊥AF,∴∠ADC=90°.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠ACD=∠B.∵BO=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB=∠OBC,∠ACD=∠ABC,∴∠ACO+∠ACD=90°,即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;

︵︵︵

(2)解:∵AF=FC=CB,∴∠DAC=∠BAC=30°.∵CD⊥AF,CD=23,∴AC=43.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AC=43,∴BC=4,AB=8,∴⊙O的半径为4.

方法总结:若证明切线时有交点,需“连半径,证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形,在解直角三角形时常运用勾股定理求边长.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

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三、板书设计 1.切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径. 2.切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

[来源学科网ZXXK][来源学科网]

教学过程中,经历切线性质的探究,从中可得出判定切线的条件,整个学习过程是一个逐层深入的过程.因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决,使学生能更全面的掌握知识.

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24.4 直线与圆的位置关系

第3课时 切线长定理

1.掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算与证明(重点,难点); 2.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.

[来源:Zxxk.Com]

一、情境导入

新农村建设中,张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园,请你设计一个建筑方案.

二、合作探究

探究点:切线长定理及应用

【类型一】 利用切线长定理求线段的长 [来源:Z&xx&k.Com][来源:Zxxk.Com]

如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、

F,切点C在AB上.若PA长为2,则△PEF的周长是________.

解析:因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B,所以PA=PB.因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F,切点为C,所以EA=EC,CF=BF,所以△PEF的周长是PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PA+PB=2+2=4.

方法总结:在求线段长度时,可以运用切线长定理进行转化,根据题设条件的提示,连接切点与圆心,实现等量转化.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用切线长定理求角的大小

如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠ACB=

70°,那么∠OPA的度数是________度.

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解析:如图所示,连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠AOB=2∠ACB=140°,∴∠APB=360°-∠PAO-∠AOB-∠OBP=360°-90°-140°-90°=40°.又易证△POA≌△POB,∴∠OPA1

=∠APB=20°.故答案为20. 2

方法总结:由公共点引出的两条切线,可以运用切线长定理得到等腰三角形.另外根据全等三角形的判定,可得到PO平分∠APB.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 切线长定理的实际应用 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面

上,用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环的半径.若测得PA=8cm,则铁环的半径长是多少?说一说你是如何判断的.

[来源学_科_网]

解:过O作OQ⊥AB于Q,设铁环的圆心为O,连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线,∴AO为∠PAQ的平分线,即∠PAO=∠QAO.又∵∠BAC=60°,∠PAO+∠QAO+∠BAC=180°,∴∠PAO=∠QAO=60°.在Rt△OPA中,PA=8,∠POA=30°,∴OP=83(cm),即铁环的半径为83cm.

方法总结:运用切线长定理解决实际问题,要选择合适的数学模型,解题时要结合切线长的性质等求解.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 三、板书设计 切线长定理

过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

[来源学科网]

教学过程中,引入切线长定理后,要向学生强调用切线长定理可解决角度和长度问题.使学生在练习中巩固知识,提升学生的独立思考能力.

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