第1章 电路及其分析方法
一、重点与难点 1、 电路的模型
把实际的电路元件理想化，抽象化后就可以得到其电路的模型，模型的建立是理论分析的基础，也是本书学习的出发点，所以电路的模型是本章的重点。
2、电路中的基本物理量
电压和电流都是标量，为了简化电路的分析，引入了电压和电流方向的概念，但是对于复杂电路，实现不能判断其方向，而交流电路中电压和电流的方向不是固定不变的，深刻理解参考方向的概念是学习好电路分析的基础，其是本书的重点也是本章的难点。 3、基尔霍夫定律
基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律，基尔霍夫定律是集总电路的基本定律，这部分内容是本章的重点。
4、电路的等效变换分析法
等效变化是电路分析的基本方法，对于简单电路而言可以直接通过简单的变化直接求取结果，这部分内容是本章的重点。
5、 支路电流法
支路电流法是以各支路电流为未知数来列方程，解方程从而确定电路中各物理量的方法，由于其思路的清晰及易于借助计算机辅助分析而成为本章的重点之一。 6、 叠加原理
深刻理解叠加定理是理解日常生活中许多物理现象的前提和保证，也是多电源电路分解和叠加后各物理量定量分配的唯一解决办法，因而该部分内容是本章的重点，也是本章的难点
7、 戴维南定理
如果对于某复杂电路，我们只需要计算某支路电压或者电流，这样采用戴维南定理就非常简单，它是端口等效的一个重要应用，因而该部分内容是本章的重点，也是本章的难点。
二、学习方法指导
1、 电路的模型
电路理论分析的对象是实际电路的模型，它是由理想电路元件构成的。理想电路元件是从实际电路中抽象出来的理想化模型，可用数学公式精确地定义。
2、 参考方向的概念
电压和电流的方向是人为规定的电路中电流或电压数值为正的方向，当电压和电流的方向不能事先知道或者是变化的时候，就需要首先假定一个方向作为正方向，这个假定的方向就是参考方向，当参考方向和实际方向一致时，值为正，否则值为负，电路理论中的电流或电压都是对应于所选参考方向的代数量。电流和电压的参考方向一致时，称为关联参考方向。
3、元件的约束关系
（1）电阻元件：当电流、电压为关联参考方向时，其电压电流关系为u=Ri，称为欧姆定律。电阻元件的伏安特性曲线是u—i平面上通过原点的一条直线。电阻是耗能元件，其功率计算公式为：
u2p?iR?R
2（2）电压源：电压是给定的时间函数，电流由其外电路决定。直流电压源的伏安
特性曲线是U—I平面上与I轴平行且U轴为US的一条直线。
（3）电流源：电流是给定的时间函数，电压由其外电路决定。直流电流源的伏安特性曲线是U—I平面上与U轴平行且I轴坐标为IS的一条直线。
4、 实际直流电源的模型
（1）可用电压源US和电阻RS的串联组合作为电路模型，US等于实际直流电源的开路电压，RS等于实际直流电源的内阻，其电压电流关系为U=US—USI，伏安特性曲线为U—I平面的一条直线，与U轴相交与US，与I轴相交于US/RS。
（2）可用电流源IS和电导为GS的电阻并联组合作为电路模型，IS等于实际直流电源的短路电流，GS等于实际直流电源的内导，其电压电流关系为I=IS—GSU，伏安特性曲线为U—I平面的一条直线，与I轴相交与IS，与I轴相交于IS/GS。
5、 电阻的串并联
（1）串联电阻的等效电阻等于各电阻的和，总电压按各个串联电阻的电阻值进行分配：
R??Rk,Uk?k?1nRkUR
（2）并联电阻的等效电导等于各电导的和，总电流按各个并联电阻的电导值进行分配：
G??Gk,Ik?k?1nGkIG
（3）两个电阻并联的计算：
R?
R1R2R2,I1?IR1?R2R1?R2
（4）电阻的三角形连接与星形连接可以等效互换：
星形电阻?三角形中相邻两电阻之积三角形中各电阻之和 星形中各电阻两两乘积之和星形中不相连的一个电阻
三角形电阻?
6、电压源和电流源的等效互换
电压源US与电阻RS的串联组合和电流源IS和电导GS的电阻并联组合可以等效互换：
U1IS?S,GS?RSRS
借助有源支路的等效变换，可进行有源支路的串并联化简。
7、 支路电流法
（1）以b个支路的电流为未知量，列（n-1）个结点的KCL方程；用支路电流表示电阻电压，列[b-（n-1）]个回路的KVL方程。
（2）联立求解b个方程，得到支路电流，然后再求其余电压。 8、 叠加定理
在线性电路中，任意支路的响应等于每个独立源单独作用在此支路产生的响应的代数和（不作用的电压源用短路代替，不作用的电流源用开路代替）。
9、 戴维宁定理
含独立源的二端网络，对其外部而言一般可用电压源与电阻串联组合等效。电压源的电压等于网络的开路电压UOC，电阻R0等于网络除源后的等效电阻。
10、 非线性电阻
非线性电阻元件的伏安特性曲线不是直线，电阻值不是常量，而随电压或电流的改变而改变。掌握图解法求解含非线性电阻元件的简单电路。由于欧姆定律不适用于非线性电阻，叠加定理不适用于非线性电路，所以以前介绍的线性电路的分析计算方法一般不适用于非线性电路。KCL及KVL与元件性质无关，仍是分析计算非线性电路的依据。图解法是根据KCL及KVL，借助于非线性元件伏安特性曲线，用作图方法求解电路的一种方法，它是分析简单非线性电路的常用方法之一。
三、习题选解
1-2 两只白炽灯泡，额定电压均为110 V，甲灯泡的额定功率PN1=60 W，乙灯泡的额定功率PN2=100 W。如果把甲、乙两灯泡串联，接在220 V的电源上，试计算每个灯泡的电压为多少？并说明这种接法是否正确？
解：两灯泡串联，则U1：U2=R1：R2=PN2：PN1=5：3 由于接在220V电源上，故U1 =5/8*220=137.5V U2=3/8*220=82.5V
显然，两灯泡电压均不等于额定电压，不正确。
1-3 在电池两端接上电阻R1=14 Ω时，测得电流I1=0、4 A；若接上电阻R2=23 Ω时，测得电流I2=0、
35 A。求此电池的电动势E和内阻R0。
解：由E=I（R+R0）可得 E=0.4（14+ R0） E=0.35（23+ R0）
联立以上两方程可得： E=25.2V R0=49Ω
图1-001 习题1-1的图
图1-002 习题1-4的图
1-4 在图1-002所示直流电路中，已知理想电压源的电压US=3V，理想电流源IS=3A，电阻R=1?。求：(1)理想电压源的电流和理想电流源的电压；(2)讨论电路的功率平衡关系。
解：I=3A，U=US+IR=3+3=6V
电流源发出功率18W，电压源吸收功率9W，电阻消耗功率9W，所以功率平衡。
1-5 在图1-003所示电路中，UCC=6V,RC=2kΩ,IC=1mA,RB=270kΩ,IB=0.02mA,e的电位Ve为零。求a、b、c三点的电位。
(a) 完整电路 (b) 简化画法
图1-003 习题1-5的图
解：a点电位为6v，
Vb?UCC?IBRB?0.6V VC?UCC?ICRC?4V
1-6 试求图1-004中a、b两点间的等效电阻Rab。
解：等效电阻分别为1Ω，2Ω。
1-7 求图1-005所示电路的戴维南等效电路。
图1-004 习题1-6的图
图1-005 习题1-7的图
解：等效电动势为：-0.5v，等效内阻为2Ω。
1-8 用电源等效变换法求图1006中的电压UAB。 本题略
1-9 各参数如图1-007所示，试求各支路电流。
解：对节点1，2分别列电流方程可得： 10+I4=I1 I3=I2+I4+5
对回路1，2分别列电压方程可得； 30=3I4+3I3 3I3+3I2=3I1
联立以上四个方程可求解：
图1-006 习题1-8的图
图1-007 习题1-9的图
1-10 电路如图1-008所示，用支路电流法求①点电位U1及②点的电位U2的大小。 解：U1=2V，
1-11 用叠加原理求图1-009电路中的IX。
解：用叠加原理可分别画出当电压源和电流源单独作用时的电路分别如上图所示， 当电压源单独作用时，电流为1.25A 当电压源单独作用时，电流为0.25A 故IX=1.5A
图1-008 习题1-10的图
图1-009 习题1-11的图
1-12 用戴维南定理求图1-010所示电路中的电流I2。
解：断开负载所在支路，可得等效电动势为20v，等效内阻为2Ω 所以I2?20?4A 2?31-13 求图1-011中的电流I。
图1-010 习题1-12的图
图1-011 习题1-13的图
解：与电压源并联的电阻对8Ω电阻上的电流无影响，可看成开路，与电流源串联的电阻对8Ω电阻上的电流也无影响，可看成短路，电路化简后可直接看出
I?7.5*4?2.5A 4?81-14 非线性电阻的伏安特性如图1-012所示。已知该电阻两端的电压为3 V，求通过该电阻的电流及
动态电阻和静态电阻。
解：由图可知：电压为3v时，对应电流为2A， 所以静态电阻为1.5Ω，由切线可求其动态电阻。
图1-012 习题1-14的图
四、典型例题分析
1、指出下图所示电路中A、B、C三点的电位。
解：图（a）中，电流 I?6?1.5mA, 各点电位 VC = 0 2?2VB = 2×1、5 = 3V VA = (2+2)×1、5 = 6V
图（b）中，电流I?6?1mA， 各点电位 VB = 0 4?2VA= 4×1 = 4V
VC =－ 2×1 = －2V
图（c）中，因S断开，电流I = 0， 各点电位 VA = 6V VB = 6V
VC = 0 图（d）中，电流I?12?2mA， 各点电位 VA = 2×(4+2) =12V 2?4VB = 2×2 = 4V VC = 0
图（e）的电路按一般电路画法如图，
电流I?6?6?1mA， 4?2各点电位 VA = E1 = 6V
VB = (－1×4)+6 = 2V VC = －6V
2下图所示电路中，已知电压U1 = U2 = U4 = 5V，求U3和UCA。
解：根据基尔霍夫电压定律，对回路ABCDA可写出方程
U1＋U2－U3＋U4 ＝
0
U3= U1＋U2＋U4 = 5
＋5＋5＝15V
对回路ACDA可写出方程
UCA＋U3－U4＝0
UCA ＝U4－U3＝5－15＝－10V
3 下图所示电路中，求A点的电位。
(a)
解: 图（a）的电路按一般电路画法如图(b)，
(b)
I?10?1.25A VA=－1、25×4＝－5V
4?44 求下图所示电路中的电压U、电流I。
解：（a）图 U为恒压源的输出，U＝10V
I＝10/2＝5A
（b）图 I为恒流源的输出，I＝5A
U＝5×10＝50V
5 简化下图所示各电路为一个等效的电压源或理想电流源。
解：（a）图 两理想电流源合并为一个，电流IS＝5－3＝2A，如图（f）。 （b）图 两理想电压源合并为一个，其值US＝6－4＝2V，如图（g）。
（c）图 与恒压源并联的电阻可以去掉，等效为一个理想电压源，如图（h）。 （d）图 与恒流源串联的电阻可以去掉，等效为一个理想电流源，如图（j）。
（e）图 与3A恒流源串联的电压源可以去掉，与5A恒流源串联的电阻可以去掉，
等效为一个理想电流源，电流IS＝5－3＝2A，如图（k）。
6 试用支路电流法下图所示电路中中通过电阻R3支路的电流I3及理想电流源两端的电压U。图中IS=2A，US=2V，R1=3Ω，R2=R3=2Ω。
7 试用叠加原理重解上题。
8 下图所示电路中,已知US1=6V，R1=2Ω，IS=5A，US2=5V，R2=1Ω，求电流I。
9 下图所示电路中，已知UAB=0，试用叠加原理求US的值。
10 画出下图所示电路的戴维宁等效电路。
11 下图所示电路中，N为线性有源二端网络，测得AB之间电压为9V，见图（a）；若连接如图（b）所示，可测得电流I=1A。现连接如图（c）所示形式，问电流I为多少？
第2章 线性电路的暂态分析
一、重点与难点
1、换路定则
暂态过程是由于当电路状态发生改变时能量不能跃变引起的，只有很好的理解换路定则，才能理解暂态过程的实质，所以换路定则是本章内容的重点。
2、初始值的确定
初始值是电路过渡过程的起点，是本章的重点。
3、一阶电路的响应
零输入，零状态是电路响应的两种基本形式，一阶电路的过渡过程是暂态电路的基本内容，正确的掌握各种响应的特点，是本章的重点，由于微分方程的确定和求解需要教多的数理知识，故本部分的内容也是本章的难点。
4、三要素法
三要素法可以不列方程而直接根据电路的三要素来分析电路的过渡过程，是电路分析的一种简单算法，因此，本部分内容是本章的重点，也是本章的难点。
二、学习方法指导
1．换路定律
当电路的状态发生改变时，电感和电容等储能元件上所存储的能量不能发生跃变，即：
uC?0???uC?0??iL?0???iL?0??
2、初始值计算
初始值是指电路刚刚换路后的瞬间电路中各元件的状态，初始值可分为独立初始值和非独立初始值，电感元件上的电流和电容元件上的电压由于不能发生跃变，所以和换路前的值一致，和换路后的电路状态无关，
独立初始值uC(0+)和iL(0+)按换路定律根据电路原来的模型确定；其它相关初始值可以根据欧姆定律和基尔霍夫定律来确定。
3、一阶电路的响应
可用一阶微分方程描述的电路称为一阶电路，例如只含一个储能元件的电路。一阶电路的响应可分为零输人响应、零状态响应和全响应三种，其中零输人响应、零状态响应是暂态电路的两种基本体现形式，而全响应可看作是两者的叠加。
零输人响应是仅由储能元件初始储能引起的响应。由于电路没有输入，故没有外加激励，所以零输入响应的实质是储能元件初始储能释放的过程。所以零输入响应也称为放电响应。
零状态响应是仅由外施激励引起的响应。由于储能元件初始无储能，所以零状态
响应的实质是外加激励对储能元件初始储能充电的过程。所以零状态响应也称为充电响应。
一阶电路的全响应是由初始储能及外施激励共同产生的响应。可以看作两者的叠加，可能是充电，也可能是放电响应。
以直流激励RC电路方程为例，电路方程为
du RCC?uC?US
dt其解(全响应)为 uC?uC?u'\C?US??U0?US?e?
?tu'C为稳态分量(强制分量)，u\C为瞬态分量(自由分量)。瞬态分量存在的时期为电
路的过渡过程，瞬态过程消失，电路进入新的稳态。 全响应也可写成
uC?uC?uC?U0e12?t?t????US??1?e??? ??uC1为零输入响应，uC2为零状态响应。
时间常数?是决定响应衰减快慢的物理量。动态元件为C时，?=RC；动态元件为L时，?=L/R。R为C或L所接网络除源后的等效电阻。 4、一阶电路的三要素法
通过观察一阶电路各种响应的特点，发现其过渡过程与初始值f?0??，稳态值f???以及时间常数?有关，当此三要素确定后，可直接带入公式f?t??f?????f?0???f????e求解。
三、习题选解
?t?2-1 图2-001（a）、（b）所示电路中开关S在t?0时动作，试求电路在t?0?时刻电压、电流的初始值。
12S(t = 0)10?iC5VC2F1+10V2S(t = 0)5?iLL1H+10V-+(a)-+uC--5?+uL-(b)
图2-001 题2-1图
解：由换路定则可知，电感元件上的电流和电容元件上的电压不能发生跃变，由此
对于图a：uc（0+）= uc（0-）=10V ic（0+）= iR（0+）=（10+5）/10=1.5A
对于图b：iL（0+）= iL（0-）=1A
uL（0+）= -iR（0+）*5=-iL（0+）*5=-5V
2-2 图2-002所示电路中电容C原先没有充电，试求开关S闭合后的一瞬间，电路中各元件的电压和电流的初始值。
3?16?20VS1F3?2F3A20?S210H30?+-15?(a)15?S5?30Vμ1 FS(b)20?+-+e(t)+10VuC(0-)-25?-(d)+-0.1 Fμ
(c)
图2-002 题2-2图 图2-003 题2-3图
解：uL（0+）= uc（0+）= uc（0-）=0V
iL（0+）= iL（0-）=0A uR（0+）=10V
iC（0+）=i R（0+）=1A 2-3 图2-003所示各电路中开关S在t?0时动作，试求各电路在t?0?时刻的电压、
π?，电流。已知图（d）中的e(t)?100sin?。 ??t??VuC(0?)?20V?3?解：对于图（a）：
换路前，2F电容上电压为10v，1F电容上电压为5v，换路后电压不能跃变。 对于图（b）：
换路前，电感电流为1.2A，换路后不能跃变。 对于图（c）：
换路前，电容上电压为15v，换路后不能跃变。 对于图（d）： 换路前，电容上电压为20v，换路后不能跃变，在0+时刻，电源电压为503v，两者之差即为电阻上电压。
2-4 求图2-004所示电路的时间常数。
解：计算时间常数时，应把电压源看成短路，电流源看成断路。 对于图（a）：
??12?0.5?10?6?6?10?6s
对于图（b）：
??12?0.5?10?6?6?10?6s
对于图（c）：
L9?10?3????10?3s
R9
对于图（d）：
L9?10?3????9?10?4s
R102-5 已知C=2μF，R2=2kΩ，R3=6kΩ，uC（t）的波形如图2-005（b）。求R1及电
容电压的初始值U0。
解：uC?U0e
U?i?0e?
Rtt??带入t=2ms事， uc=6.065V， ic=6.065/4mA 可得：
R=4kΩ，即：
R1?R2//R3?4K?
带入数据可求解
2-6 图2-006所示电路为一标准高压电容器的电路模型，电容C=2μF，漏电阻R=10MΩ。FU为快速熔断器，us=23 000sin（314t+90o）V，t=0时熔断器烧断（瞬间断开）。假设安全电压为50V，求从熔断器断开之时起，经历多少时间后，人手触及电容器两端才是安全的？
解：??RC?10?10?2?106?6?20S
uC?U0e?23000eV
把uc=50V代入得： t=20ln460
?t??t20 图2-004 题2-4图 图2-005 题2-5图
125k?Si2
+5V-100k?+uC-100k?10 Fμ
图2-006 题2-6图 图2-007 题2-7图
2-7 图2-007所示电路中开关S原在位置1已久，求uC(t)和i(t)。 t?0时合向位置2， 解：该电路为一阶RC电阻的零输入响应， uc（0+）= uc（0-）=4v，
??50?103?10?10?6?0.5s
所以
t?uC?U0e?4e?2tV
1?1S2i1H?+uL-4?+10V-4?
图2-008 题2-8图 图2-009 题2-11图
2-8 图2-008中开关S在位置1已久，求换路后的i(t)和uL(t)。 t?0时合向位置2，解：I0=2A
??L1?S R8-Rt/L
则：iL(t)= I0euL(t）= L
=2e
-8t
diL-t/τ-8t
= -RI0e=16e dt
2-9 一个简单的零输入RL串联电路，电阻电压为uR?50e?400tV，如果在t=0时该电阻与另一个电阻并联，使其等效电阻由200Ω变为40Ω。求uR
解：当电阻变为原来的0.25倍的时候，初始值及时间常数也变为原来的0.25倍。 故uR?12.5e?1600t
2-10 一个具有磁场储能的电感经经电阻释放储能，已知经过0.6s后储能减少为原来的一半；又经过1.2s后电流为25mA。试求电感电流i（t）。
解：显然，由题可知，0.6S后，电流变为原来的1由iL(t)= I0e
-Rt/L
2，
带入t=0.6s可得：
e?0.6??12可求?
带入t=1.8s时，i=25mA可求I0，回代入公式中，本题可解。
2-11 图2-009所示电路中，已知US=12V，R=25kΩ，C=10μF。开关S在t=0时闭合，在S闭合前电容并未充电。求t≥0时的电容电压uC及t＞0时的电流i，并定性地画出uC及i的波形。求充电完成后电容储存的能量WC及电阻消耗的能量WR。 解：本题可直接参考教材45页式2-21直接写出结果。
2-12 电路如图2-010所示，US=20V，R1=100Ω，R2=300Ω，R3=25Ω，C=0.05F，电容未冲过电。t=0时开关S闭合。求uC（t）。 解：uc（0+）= uc（0-）=0V uC（?）=15v ??RC?（100//300?25）?0.05?5S
?t uC(t)?15（1?e5）
图2-010 题2-12图 图2-011 题2-13图
2-13 图2-011所示电路原来处于零状态，t=0时开关S闭合。求iL（t）及uL（t）并定性地画出iL（t）及uL（t）的波形。 解：iL（0+）= iL（0-）=0 iL（?）=0.1A
L0.8?10?3????10?5S
R100//40011?eiL（t）=0.（?100000t）A
uL(t)?Ldi?8e?100000tV dt波形如图2-14所示。
2-14 图2-012所示电路中，若t?0时开关S打开，求uC和电流源发出的功率。 解：uc（0+）= uc（0-）=0V uC（?）=is*R ??2RC
带入公式可求。
S10k?(t = 0)5k?iCRiSSR+uC+-C20V10k?-
10 Fμ+uC-
图2-012 题2-14图 图2-013 题
2-15图
2-15 图2-013所示电路中开关S闭合前，电容电压uC为零。在t?0时S闭合，求t?0时的uC(t)和iC(t)。
解：uc（0+）= uc（0-）=0V uC（?）=10v
??RC?10?103?10?10?6?0.1S
uC(t)?10（1?e?10t）i（?CCt）du?10?3e?10tA dt2-16 图2-014所示电路中开关S打开前已处稳定状态。t?0开关S打开，求t?0时的uL(t)和电压源发出的功率。
解法一：iL（0+）= iL（0-）=0 iL（?）=1.4A
??L0.21??S R2?3?550?50t41?eiL（t）=1.（）A
uL(t)?Ldi?14e?50t dt解法二：iL（0+）= iL（0-）=0 uL（0+）=14v uL（?）=0
??L0.21??S R2?3?550uL(t)?14e?50t
2?3?2A5?12?+12V-4?SiL(t)+10V(t = 0)S0.2H+uL+3A6?L2HuL(t)--
2-17图
-
图2-014 题2-16图 图2-015 题
2-17 图2-015所示电路，已知iL(0?)?0，求t?0时的电流iL(t)t?0时开关闭合，和电压uL(t)。
解：iL（0+）= iL（0-）=0
稳定状态可用叠加原理来计算，当电流源单独作用时，电压源可看成短路，则整个回路中没有负载，电感电流等于电流源电流3A，当电压源单独作用时，电流源可看成开路，电感上电流为?1A， 33所以iL（?）=A
8L22又????S
R（12//4?6）93故：iL（t）=（1?e?4.5t）A
8uL(t)?Ldi27?4.5t?e dt82-18 图2-016所示电路中直流电压源的电压为24V，且电路原已达稳态，t?0时合上开关S，求：
（1）电感电流iL；
（2）直流电压源发出的功率。
12?S1k?+24ViL4H6?+12V1k?iCμ20 F1k?S-- 图2-016 题2-18图 图2-017 题2-19图 解：iL（0+）= iL（0-）=2A，
开关闭合后，电路无变化，电流仍为2A，电源发出的功率为48w。
2-19 图2-017所示电路中开关打开以前电路已达稳态，t?0时开关S打开。求
t?0时的iC(t)，并求t?2ms时电容的能量。
解：uc（0+）= uc（0-）=6V uc（?）=12v
??RC?2?103?20?10?6?4?10?2S
uc（t）=12-6e?25tv
i（?CCt）du?0.003e?25tA dt?25*0.002uc（2ms）=12-6e≈6V
W?12Cu 22-20 图2-018所示电路中各参数已给定，开关S打开前电路为稳态。t?0时开关S打开，求开关打开后电压u(t)。
1?S6?++3V2?0.5Fu(t)-1H3?9A-
图2-018 题2-20图
解：uc（0+）= uc（0-）=0 uc（?）=2v，
???0.5?s
所以：uc（t）=2-2e?3t2313v，
iL（0+）= iL（0-）=0 uL（0+）=27v uL（?）=0
??L1?S R9?9t所以uL（t）=27e
u（t）= uc（t）-uL（t） =2-2e?3t-27e?9tV
2-21 图2-019所示电路原已稳定，t=0时，开关S断开。用三要素法求电流源的电压u（t）。
解：iL（0+）= iL（0-）=0
所以：200Ω电阻开路，其余两电阻串联 u（0+）=（100+300）*0.01=4v
稳定后，200Ω和300Ω两电阻并联然后和100Ω电阻串联，总电阻为220Ω， u（?）=220*0.01=2.2v ??500?0.0001?0.5s 带入公式可求：
u（t）= u（?）+（ u（0+）-u（?））e=2.2+1.8e?2t?t?
v
2-22 图2-020所示电路原已稳定，t=0时，开关S由位置1倒向位置2。用三要素法求iL（t），并作其波形图。
图2-019 题2-21图 图2-020 题2-22图 解：iL（0+）= iL（0-）=3A
i（??2A L?）L5?10?32?????10?3S
R22.59带入公式可得：
iL（t）= i（+（ iL（0+）-i（）eL?）L?）=-2+（3+2）e=5e?4500t?4500t?t?
-2A
第3章 正弦交流电路的分析及应用
一、重点与难点
1、正弦量的三要素
抓住事物的主要矛盾是分析问题的关键，正弦量区别于其他量的三个要素分别为其大小，变化快慢和初相位，如何正确的找到一个正弦量的特征要素是本章的重点，其中的相位差也是本章的难点。
2、正弦量的相量表示
高等数学和工程数学是解决工程问题的数学工具，采用相量表示能大大简化问题分析的难度和数学计算的过程，而相量表示是利用高等数学工具的前提，本部分内容是本章的重点，也是本章的难点。
3、单一参数的正弦交流电路
纯电阻，电感，电容电路的伏安特性，阻抗特性和功率特性是这些元件的基本特性，这三个特性的分析是本章的重点，也是本章的难点。
4、多参数的正弦交流电路
对于复杂的交流电路，如何运用前面学过的知识进行分析其特性，是本章的重点，也是本章的难点。
5、正弦交流电路中的谐振
当电路中电压和电流的相位相同时，电路就达到了谐振状态，谐振分为串联和并联两种，在有些地方需要加以利用，在某些地方需要加以防范，谐振的条件和特点是本章的重点。
6、非正弦周期电路分析
非正弦交流电路是日常生活中经常会遇到的电路，如何衡量非正弦交流电路的作用效果是本章的难点。
二、学习方法指导
1、正弦量的三要素
正弦电流信号的表达式为i(t)?Imsin(?t??i)?2Isin(?t??i) 则：式中I为电流有效值，角频率ω与周期T和频率f的关系为
??2??2?f T2、正弦量的相量表示
一个正弦量由最大值(有效值)、角频率和相位这三个要素确定。在实际电路的分析计算中，同一个电路中一般只有一个频率(或角频率)。因此，在分析计算电路中各处的电压、电流，只要确定最大值(或有效值)和初相位就可以表示该正弦量。表示正弦量的复数A?rej?称为相量，其中的r表示正弦量的大小，而其中的?表示正弦量的初始相位。对
应于复数四种表示形式，相量可以有与之相同的四种表示形式，例如，对应于
i?2Isin(?t??i)有：
??I?I(cos?i?jsin?i)??
I?Iej?i??I?I??i?I?Ia?jIb同频率正弦量之间的运算可以按照复数的运算法则进行。 3、单一参数的正弦交流电路
R、L、C三元件的电压与电流关系如下： 元件名称 R L C 相量关系 UR?RI UL?jXLI UC??jXCI 有效值关系 UR?RI UL?XLI UC?XCI 相位关系 ?u??i ?u??i?90 ?u??i?90 R、L、C三元件的阻抗特性：电阻元件上的电阻和频率无关，由电阻参数唯一确定，电感元件上的感抗和频率成正比，电容元件上的容抗和频率成反比。
R、L、C三元件的功率特性：电阻元件是耗能元件，电阻元件是消耗的功率称为有功功率，电感元件和电容元件是储能元件，不消耗能量，为了衡量电感，电容与电源进行能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，称为无功功率。
4、多参数正弦交流电路
伏安特性：U?IR?jIXL?jIXC?I(R?jXL?jXC) 阻抗特性：
Z?U?R2?(XL?XC)2I ??arctgUL?UC?arctgUR?L?1?C?arctgXL?XC?arctgX RRRRLC串联电路中各电压和电流都是同频率的正弦量。总电压u的有效值(或最大值)，与电流i的有效值(或最大值)成正比例，比例系数就是复阻抗的模|Z|，Z?UmUu??，ImIi总电压u与电流i间的相位差就是电路的阻抗角?，它与电源频率和电路参数R、L、C
有关。当XL＞Xc，u超前i一个?角；XL＜Xc，u落后i一个?角；XL＝Xc时，u与I同相，呈现纯电阻性。
功率特性：在正弦稳态电路中，电容和电感不消耗有功功率，阻抗消耗的有功功率为电阻分量消耗的功率。即
P?UIcos(?u??i) 5、谐振
串联谐振：在RLC串联谐振电路中，谐振时因谐振阻抗最小（Z＝R）从而回路电流最大。
谐振条件：?0L?品质因数：Q0?1, ?0??0C1 LC?0LR?11L ??0RCRCL、C上电压：UL?UC?Q0US
并联谐振：在RLC并联谐振电路中，谐振时因谐振阻抗最大，从而谐振电压最大。
谐振条件： ?0L?品质因数：Q0?1, ?0??0C1 LCR1C ??0RC??0LRLL、C中电流：IL?IC?Q0IS
三、习题选解
3-1 写出表示uA?380sin?tV,uB?380sin(?t?120V)u,?380sin(?t?C图。
解：UAm?380?0
?0120V的相量，并画出相量)UBm?380??1200
?UCm?380?1200??
3-2 在图3-001所示电路中，求总电流I。已知：i1?100sin(?t?45)，i2?60sin(?t?30)。 解：I1?502?45?50?j50
0I2?302??300?156?j152?37?j21 I?I1?I2?87?j29
可求I=92A
3-3 在图3-002所示各电路图中，除A0和V0外，其余安培计和伏特计的读数在图上标
60Vi出(均为有效值)。试求安培计A0或VV10ARAV0XR伏特计
Ai1100VAi2的读数。 XV10A
图3-001 习题3-2 的图 图3-002 习题3-3 的图
解：A0=14A，V0=80V
3-4 在图3-003中，安培计A1、A2的读数分别为I1＝3A，I2=4A。（1）设Z1＝R，Z2＝－jXC，则安培计A0的读数应为多少？（2）设Z1＝R，问Z1为何种参数才能使安培计A0的读数最大？此读数为多少？（3）设Z1＝－jXL，问Z2为何种参数才能使安培计A0的读数最小？此读数为多少？ 解：（1）设Z1＝R，Z2＝－jXC，则安培计A0的读数应为5A
（2）设Z1＝R，问Z1为纯电阻才能使安培计A0的读数最大，此读数为7A （3）设Z1＝－jXL，问Z2为纯电感才能使安培计A0的读数最小，此读数为1A
3-5 在图3-004所示电路中，I1?10A,I2?102A,U?200V,R?5?,R2?XL，求I、XC、XL、R2。
101L02C2????答：本题略。
3-6 设有一线圈，其电阻可忽略不计，电感L＝35mH，在f＝50Hz，UL＝110V电源的作用下，求：（1）XL值；（2）I及其与UL的相位差?；(3)QL值；(4)在1时线圈储存的磁
4场能量WL。
解：XL=?L=11Ω I=10A，
电流滞后电压90度。 QL=1100var=1.1kvar W=0.5LI2=1.75KW
3-7 日光灯管与镇流器串接到交流电源上，视为RL串联电路。如已知某灯管的等效电阻R1=280Ω，镇流器的电阻R2=20Ω，电感L＝1.65H，电源电压U＝220V，试求电路中的电流和灯管两端及镇流器上的电压。这两个电压加起来是否等于220V？设电源频率为50Hz。
解：XL=?L=520Ω
2Z?R2?XL?600?
I=
220?0.37A 600灯管两端电压为：IR=103v
镇流器阻抗为：202?5202?520? 镇流器电压为520*0.37=192v
两个电压加起来显然不等于220v。
I0A0I1I1A1I2CA2Z2II2U-jXCjXLZ1RR2u1Ru2
图3-003 习题3-4的图 图3-004 习题3-5的图 图3-005 习题3-11的图
3-8 一线圈的等效电阻R＝10Ω，电感L=64mH，通过该线圈的电流为i＝7sin314 tA，求：线圈两端的电压U及电压与电流间的相位差?。 解：XL=?L=314*64*0.001=20Ω
2Z?R2?XL?22?
U?IZ?22?5?110V
相位差为：arctan2
3-9 设有两个复数阻抗Z1?3?j8?和Z2?3?j4?，它们串接在U?220?33.7V的电源上。试用相量法计算电路中的电流I和各个阻抗上的电压U1和U2，并作相量图。 解：Z1?8.54?
Z2?5?
Z?6?j4?7.07?
I?U220??31A Z7.07U1?IZ1?265V U2?IZ2?155V
各物理量相位可依据相位角计算。
3-10 将两个复数阻抗Z1?6?j8?和Z2?4?j3?它们并接U?U?0的电源上。试计算电路中的电流I、I1和I2，并作相量图。 解：Z1?10?53
0Z2?5??370
I1???U?0.1U??530 Z1U?0.2U?370 Z2????I2??I?I1?I2
3-11 圈3-005是一移相电路，如果C＝0.01μF，输入电压u1???2sin6280tV，今欲使输出
电压u0在相位上超前u1600，问应配多大的电阻R？此时输出电压U2为多少？ 解：U2?U1R
R?jXC要使输出超前输入600，则必有XC?3R
可求R=9.2KΩ
此时输入电压为输入电压的一半，即0.5V。 3-12 在RLC串联电路中，R=50Ω，L=150mH，C＝50μF，电源电压u?2202sin(?t?20)V。
电源频率f=50Hz。(1)求XL、XC、Z；(2)求电流I并写出瞬时值i的表达式；(3)求各部分电压有效值并写出其瞬时值表达式；(4)作相量图，(5)求P和Q。 解：XL??L?314?150?10?3?47.1?
XC?11??63.7? ?6?C314?50?10Z?50?j16.6? I?U220??4.2A Z52UR?IR?4.2?50?208V UL?IXL?4.2?47.1?198V UC?IXC?4.2?63.7?268V
P?I2R?882W
Q?I（UL?UC）?4.2*70?294var
3-13 如图3-006所示。已知R＝10Ω，L?1H31.4，C?106?F3140。（1）当电源电压为220V的
直流电压时，试分别计算在短路开关S闭合和断开两种情况下电流I及各电压UR、UL、
UC；（2）当电源电压为u?2202sin314V时，再计算(1)中各量。 解：（1）：对于直流电路而言，电容相当于开路，电感相当于短路，当开关S断开时，回路中无电流通过，电容电压等于电源电压，当开关s闭合时，电感和电容上电压为0，电阻上电压等于电源电压，电感和电阻上电流为22A。 （2）当电源为交流电时，XL??L?10?
XC?1?10? ?C开关S断开时，
Z=R+j（XL-XC）=R=10Ω UR=UL=UC=220V 电流为22A
开关S闭合时，Z=R+jXL=10+j10Ω 电容被短路，无电压和电流 电感和电阻上电流为112A 电阻和电感上的电压均为1102V
IRLSU1Z1=20ΩUC U2U?10?0VUZ2=2＋3jΩI2I1Z1=1＋jΩI?20?0AZ2=1-jΩ
（a） （b）
图3-006 习题3-13的图 图3-007 习题3-14的图
3-14 计算图3-007（a）中的电流I、电压U1和U2，并作相量图；计算图3-007（b）中电压U、各支路电流I1和I2，并作相量图。
解：对于图（a），两阻抗串联，Z=2+2+j3=4+j3=5?36
?0I??U?2??360 Z??U1?IZ1?4??360
33U2?IZ2?2?360?3.6?arctan?7.2?（360?arctan）
22??Z1?2?450? Z2?2??450?
Z2?I1?I?102??450A
Z1?Z2?Z1?I2?I?102?450A
Z1?Z2?
U?I1Z1?20V
3-15 在图3-08所示电路中，已知U1?230?0V,U2?227?0V，Z3?10?j10?，Z1?Z2?0.2?j1?。求电流。 I3aaI1I2??IICU21Ω10－4H100μF1ΩZ1U1I3aZ3bZ2ILjXLIR10－6H0.2μFU-jXCRbb 图3-008 习题3-15的图 图3-009 习题3-16的图 （a） （b）
图3-010 习题3-17的图
解：本题可用支路电流法求解， 对节点a列电流方程可得：
??10rad/s6??104rad/s
I1?I2?I3
对左网孔和右网孔分别列电压方程可得：
??????U1?Z1I1?Z3I3 U2?Z2I2?Z3I3
联立以上方程，带入数据即可求解。
3-16 如图3-09所示，已知U=220V，R＝22Ω，XL＝20Ω，Xc=11Ω，求电流IR、IL、IC及I。
解：设U?220?0则
?0???IC???U?20?900 ZCU?11??900 ZL??IL??IR???U?10?00 R???I?IL?IR?IC?10?j9A
3-17 求图3-010中电路的复数阻抗Zab。 解：（a）：ZL?j
ZC??5j
Z?1.25j
（b）电容与电阻并联支路等效阻抗为：总阻抗为（3?j）
1?j 2123-18 应用戴维南定理将图3-011所示电路中的虚线框部分划成等效电源。 解：设电容的容抗为XC，则： 对于图（a）
?R1US 等效电动势为：
RS?R1?jXC等效阻抗为
（RS?jXC）R1
RS?R1?jXC?对于图（b） 等效电动势为：IR1 等效阻抗为R1?jXC
3-19 图3-012所示为某收音机的输人电路，L与C似乎是并联的，为什么说是串联谐振电路?如果线圈的L＝0.3mH，R=16Ω，欲收听640kHz的电台广擂，应将可变电容C调到多少pF？若在调谐回路中感应出电压U＝2μV，试求这时回路中该信号的电流多大?线圈(或电容)两端的电压为多少?
解：本图为单支路回路，所有元件均为串联。 由谐振条件可知：
f?12?LC带入数据可求
C?1?200pF 2L（2?f）由于串联谐振时，回路呈现纯电阻性，所以总阻抗等于电阻16，当电压为2μV时，电流为0.125μA。
XL?2?fL?1206?
UC?XLU?0.15mV R3-20 一个电感为0.25rnH，电阻为13.7Ω的线圈与85pF的电容器并联，求该并联电路
的谐振频率及谐振阻抗。
解：f?12?LC?1.1MHz
Z?L?215KΩ RC
3-21 今有40W的日光灯一个，使用时灯管与镇流器(近似为纯电感)串联接在电压为220V、频率为50Hz的电源上，已知灯管工作时属于纯电阻负载，灯管两端的电压等于110V，试求镇流器的感抗与电感。这时电路的功率因数等于多少?若将功率因数提高到0.8，问应并联多大电容。
U2?302? 解：R?PXL?3R?523?
0功率因数为0.5，??60tg??3
?37tg??补偿到0.8后，?’C?P(tg??tg??)=2.58μF ?U2a0‘3 4aRLRCRSR1USbbCRIR1L1LCe1e2e3f1f2f3 （b）
（a） （b） （a）
图3-011 习题3-18的图 图3-012 习题3-19的图
第4章 三相电路
一、重点与难点
1、三相电源
三相电源的特点是三相电路及三相电动机应用的基础，本部分内容是本章的重点。 2、对称三相负载
三相负载一般都是对称负载，可接成Y接或者D接，两种接法各有不同的特点，正确的掌握两种接法各自的特性是本章的重点，也是本章的难点。
3、非对称三相负载
由三个单相负载构成的三相负载一般都是非对称负载，非对称负载广泛用于日常生活，由中线来平衡各负载电压，本部分内容是本章的重点，正确理解中线的作用是本章的难点。
4、三相功率
正确掌握三相负载有功功率，无功功率和视在功率的计算方法是生产和生活中解决问题的关键，本部分内容是本章的重点，非对称负载中功率的计算方法是本章的难点。
二、学习方法指导
1．三相电源
对称三相电源由三个幅值相等、频率相同而相位差为1200的正弦电压源组成，如果电源相序为正序，设A相初相位为0，则各相电压的相量表达式是
?U?U?0,U?U??120,U?U?120APBPP
?????三相电源有两种联接方式，星形连接的特点是Ul?3UP，三角形联接的特点是
Ul?Up。
2．对称三相负载
凡是对称三相电路都可用一相法计算，再推知其它两相。星形联接负载时的特点是
Ie?IP,Ue?3IP而相位超前30?。三角形联接负载的特点是Ue?UP,Ie?3IP而相
?位滞后30。
3．三相不对称负载
不对称负载一般需要接成Y接，而且必须有中性线，中性线的作用就在于能够使得不对称的负载上的电压相互独立，因此中性线上不能接保险和开关。
4、三相对称电路的功率
平均功率为：P=3UPIPcos??3UlIlcos?。 无功功率为：Q?3UPIPsin??3UlIlsin? 视在功率为：S?3UPIP?3UlIl
三、习题选解
4-1 什么是三相电源的相序？什么是正序？
答：对称的三相电动势到达最大值的先后顺序称为相序；发电机转子顺时针旋转，三相电动势的顺序为A-B-C，称为正序。
4-2 什么是线电压？什么是相电压？对于Y－Y接线的情况，相电压和线电压有何关系？
答：每相上的电压称为相电压，任意两根相线之间的电压称为线电压，对于Y－Y接线的情况，线电压是相电压的3倍，线电压超前相应相的相电压30度。
4-3 如何计算三相对称负载的功率，?角指什么？
解：平均功率为：P=3UPIPcos??3UlIlcos?。
无功功率为：Q?3UPIPsin??3UlIlsin? 视在功率为：S?3UPIP?3UlIl
?角指功率因数角。
4-4 有一三相对称负载，每相电阻R＝8Ω，感抗XL＝6Ω，如果将负载连成星形接于线电压Ul＝380V的三相电源上。试求相电压、相电流及线电流。
解：UP=220V
Z?10Ω
Il?IP?22A
4-5 对称三相电路如图4-01所示，已知Z＝6＋j8Ω，uAB?3802sin(?t?30)V，求负载中各电流相量。
解：UA?220?0V
?0UB?220??1200V UC?220?1200V
??Z?10?530Ω
则：IA????UA?22??530A Z?IB??UB?22??1730A ZUC?22?670A Z?IC?4-6 有一三相异步电动机，其绕组联成三角形接于线电压Ul＝380V的三相电源上，从电源所取用的功率P＝11.43kW，功率因数cos??0.87，试求电动机的相电流和线电流。
解： P?3UlIlcos? 带入数据可得： Il= 20A IP=
Il=11.55A 3＝22Ω，。（1）试求负载相电压，相电流及中线电流，并作出相量图，（2）如无中线，求负载相电压及中线电压，（3）如无中线，当A相短路时求各相电压和电流，并作出相量图，（4）如无中线，当C相断线时，求另外两相的电压和电流；（5）在（3）、（4）中如有中线，则有如何？
4-7 图4-02所示是三相四线制电路，电源线电压Ul＝380V，三个电阻性负载联成星形，其电阻为Ra＝11Ω，Rb＝Rc
解：（1）UL?380（V） 则 Up?220（V）
设Ua?220/0?（V）
则Ub?220/?120?（V），Uc?220/120? （V）
.... IA?.Ua?20/0?（A） RUb220/?120???10/?120?（A） Rb22.. IB? IC?...Uc220/120???10/120?（A） Rc22...所以： IN?IA?IB?IC?20/0??10/?120??10/120?=26.46/19.1?（A） （2）中线断开，A相又短路时的电路如图所示；
此时RB、RC上的电压为电源线电压，
IB?Ib?Ub380??17.27（A） Rb22Uc380??17.27（A） Rc22IC?Ic?（3）中线断开，A相断开时的电路如图所示，
此时RB、RC二负载串联后的电压为电源线电压，
IB?IC?
AUBC380??8.64（A）
Rb?Rc22?22IAUABAZUCN?UAN?N?UCACBNINRCIaRaN?IbICIBZBUBCZUBN?
IcRbC
图4-02 习题4-7图
图4-01习题4-5图
4-8 不对称星形联接的三相负载接于对称三相四线制的电源上（图4-03），电源线电压Ul＝380V，各相阻抗ZA＝6＋j8Ω，（1）各相电流、线电流，并作出相量图，；（2）电源供给的有功功率，无功功率和视ZB?20??90?，ZC＝10Ω，试求：在功率。(3)试求三相平均功率P。
解：（1）UL?380（V） 则 Up?220（V） 设Ua?220/0?（V）
.
则Ub?220/?120?（V），
.Uc?220/120? （V）
IA?..Ua?22/?53?（A）
6?j8..IB?..Ub220/?120???11/?30?（A） ?j20?j20IC?Uc220/120???22/120?（A） R10.由于负载是Y接，所以线电流和相电流相等。
(2)由于B相负载为电容，其有功功率为 0， 故三相总功率即 A相电阻性负载的有功功率和C相电阻的有功功率。
即 P?IAR?ICR?222?6?222?10?7744W
22Q??222?8?112?20?1452var
S=
P2?Q2?7879VA
AIANCBINICIBZAZCN?ZB
图4-03 习题4-8图
图4-04 习题4-9的图
4-9 在线电压为380V的三相电源上，接有两组对称负载，如图4-04所示，试求：线路电流、电源输出的有功功率、无功功率和视在功率。
解：由于两组对称负载都是电阻性，所以计算较简单。
ILY?IPY??380U?P?3?22（A） RY10UPU380?3L?3?17.32（A） R?R?38IL??3IL?ILY?IL??22?17.32?39.32（A）
也可以用相量法进行求解。
由于三相负载对称，所以可以选用一相进行计算。
??380/30?（V） 设UAB
??220/0?（V） 则Ua星接时的线电流和相电流相等，则
?U220/0???IAY?Ia?a?22/0?（A）
RY10角接时的线电压和相电压相等，则
?U380/30??Iab?AB?10/30?（A） R?38由角接时线电流和相电流的关系知，
??3I?/?30??3?10/30??30??17.32/0?（A） IL?ab??I??I??22/0??17.32/0??39.32/0?（A） 所以ILLYL?即 IL=39.32（A）