《振动力学》——习题

第二章 单自由度系统的自由振动

2-1 如图2-1 所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上且无弹跳。试求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

x1 x12 x0 平衡位置 x

解：

W2h?

动量守恒：

1W22v2，v2?2gh 2gW2W2W?W22gh v2?1v12，v12?W1?W2gg

平衡位置：

W1 kW?W2W1?W2?kx12，x12?1

kW1?kx1，x1?

故：

x0?x12?x1?W2 k?n?

故：

kkg?

?W1?W2?gW1?W2?0xx??x0cos?nt? ??x0cos?nt?

?nv12sin?nt

?nsin?nt2-2 一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角?

a2?＝h?

2F＝mg

由动量矩定理：

???MI?I??1ml212aa2M??Fasin??cos??mg???mga228h

?其中

sin???cos?12

1a22??ml??mg???0124h3ga22pn?2lh

?

2πl2h2πlhT??2π?pna3g 3ga22-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求

其摆动的固有频率。

图2-3 图2-4

2-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况

系统作垂直振动的固有频率：

（1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

x1 l1 k1 m mg l1 l2 F2?l1mgl1?l2x l2 k2 F1?l2mgl1?l2x? x2

图 T 2-9

答案图 T 2-9

解：

（1）保持水平位置：?n?（2）微幅转动：

k1?k2 mx?x1?x?? ?F1?x2?x1?l1?k1l1?l2?l2mgl?l1l2?1??mg?l1?l2?k1l1?l2??l1?l2?k2?l1?l2?k1??lmgllk?lk ?2?1?1122mg

?l1?l2?k1l1?l2?l1?l2?k1k2l2k2?l1?l2??l12k1?l1l2k2 ?mg?l1?l2?2k1k22l12k1?l2k2 ?mg?l1?l2?2k1k2 故：

ke2?l1?l2?k1k2 ?2l12k1?l2k2?n?ke m2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A

端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？

图2-5 图2-6

2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg，k1?9800Nm，

k2?k3?4900Nm，k4?19600Nm。试问：

（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？

｛2.17｝ 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？