1.1.2 余弦定理
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．△ABC中，a＝bc，则角A是( ) A．锐角 C．直角
B．钝角 D．60°
2
b2＋c2－a2b2＋c2－bcb－c2＋bc解析：由余弦定理：cos A＝＝＝>0，∴A<90°.
2bc2bc2bc答案：A
2．在△ABC中，若sinA＋sinB 2 2 2 2 2 2 B．直角三角形 D．不能确定 a2＋b2－c2 解析：由正弦定理，a＋b 2ab答案：A 3．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝( ) A. 15 4 3B. 4D.11 16 2 2 2 315C. 16 3a＋c－b解析：由正弦定理：6a＝4b＝3c，∴b＝a，c＝2a，由余弦定理cos B＝＝ 22ac11 ＝. 16答案：D π 4．在△ABC中，B＝，AB＝2，BC＝3，则sin A＝( ) 4A.10 10 B. 10 35 5 a2＋4a2－a2 a294 310C. 10 解析：在△ABC中，由余弦定理 D. AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝2＋9－6＝5， ∴AC＝5， 1 BCAC310 由正弦定理＝，解得sin A＝. sin Asin B10 答案：C 5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) 5 A. 18C.3 2 3B. 47D. 8 解析：设三角形的底边长为a，则周长为5a，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝答案：D 6．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( ) A．90° C．135° B．120° D．150° a＋a－a7 ＝. 2×2a×2a8 222 解析：设边长为5,7,8的对角分别为A，B，C，则A ∴cos B＝＝. 2×5×821 ∴cos(A＋C)＝－cos B＝－， 2∴A＋C＝120°. 答案：B 1 7．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________. 4解析：∵b＋c＝7，∴c＝7－b. 由余弦定理得b＝a＋c－2accos B， 2 2 2 2 2 2 ?1?22 即b＝4＋(7－b)－2×2×(7－b)×?－?， ?4? 解得b＝4. 答案：4 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b＝ac，且c＝2a，则cos 2 B＝________. a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23 解析：因为b＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝. 2ac2a·2a4 2 3 答案： 4 9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b. 2 解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°. a＋c＝8，ac＝15，则a，c是方程x2－8x＋15＝0的两根． 解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5. 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋25－2×3×5×＝19. ∴b＝19. 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，求bccos A＋ 12 accos B＋abcos C的值． b2＋c2－a2 解析：∵cos A＝， 2bc1222 ∴bccos A＝(b＋c－a)． 21222 同理accos B＝(a＋c－b)， 2 abcos C＝(a2＋b2－c2)． 122261 ∴bccos A＋accos B＋abcos C＝(a＋b＋c)＝. 22 [B组 能力提升] 1．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．由增加长度决定 1 2 解析：设直角三角形的三条边分别为a，b，c，c为直角边，设同时增加长度k，则三边长变为a＋k，b＋k，c＋k(k>0)，最大角仍为角C，由余弦定理 cos C＝a＋k2 ＋b＋k－c＋ka＋kb＋k22 a2＋2ak＋k2＋b2＋2bk＋k2－c2－2ck－k2 ＝ a＋kb＋k＝2ka＋b－c＋k2 >0， a＋kb＋k∴新三角形为锐角三角形． 答案：A 2．(2015·高考广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23，cos A＝3 ，且b 3 A.3 C．22 2 2 2 B．2 D．3 2 2 2 解析：由余弦定理a＝b＋c－2bccos A，所以2＝b＋(23)－2×b×23×－6b＋8＝0，解得：b＝2或b＝4，因为b 3．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________. 解析：由已知：a－c＝b＋bc，∴b＋c－a＝－bc， 2 2 2 2 2 2 32，即b2 b2＋c2－a21∴＝－， 2bc2 1 由余弦定理：cos A＝－，∴A＝120°. 2答案：120° 4．若2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围是________． 解析：因为2a＋1，a,2a－1是三角形的三边长，所以{2a＋ aa－1>0 ，解得a>， 1 2 此时2a＋1最大，要使2a＋1，a,2a－1是三角形的三边长，还需a＋2a－1>2a＋1，解得a>2.设最长边2a＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ＝ a2＋ a－ 2a－a－ 2 a＋ 2 ＝ aa－2aa－1 <0，解得 2 答案：(2,8) 27 5.如图所示，△ABC中，AB＝2，cos C＝，D是AC上一点，且 757 cos∠DBC＝. 14求∠BDA的大小． 解析：由已知得cos∠DBC＝从而sin ∠DBC＝5727 ，cos C＝， 147 2121 ，sin C＝， 147 ∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋C) 572721211 ＝·－·＝， 1471472 4 ∴∠BDA＝60°. 6．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos＋cos A＝0. 2 A2(1)求内角A的大小； (2)若a＝23，b＝2，求c的值． 解析：(1)∵cos A＝2cos2 A2－1， 又2cos2 A2＋cos A＝0， ∴2cos A＋1＝0， ∴cos A＝－1 2， ∴A＝120°. (2)由余弦定理知a2 ＝b2 ＋c2 －2bccos A， 又a＝23，b＝2，cos A＝－1 2. ∴(23)2＝22＋c2 －2×2×c×(－12 )， 化简，得c2 ＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 5