哈尔滨工程大学《数字信号处理》（1-7章）习题解答南京廖华答案网

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文章发布时间 : 2025/1/7 15:33:07星期二

《数字信号处理》习题解答

第一章习题解答

1、对三个正弦信号xa1(t)?cos2?t，xa2(t)??cos6?t，xa3(t)?cos10?t进行理想采样，采样频率为?s?8?。求三个采样输出序列，比较这三个结果。画出xa1(t)，xa2(t)，xa3(t)的波形及采样点位置，并解释频谱混淆现象。

解：采样频率?s?8?，那么采样周期T??2?，对连续信号xa(t)理想采样可表示为 ?s?a(t)?x这样就有

n????x(nT)?(t?nT)

a?a1(t)?xn??????xa1(nT)?(t?nT)???n?cos????(t?n4)

?2?n???????3?n???n??a2(t)??xa2(nT)?(t?nT)???cos?x?(t?n4)??cos?????(t?n4)

22????n???n???n?????5?n???n??a3(t)??xa3(nT)?(t?nT)??cos?x?(t?n4)?cos?????(t?n4)

?2??2?n???n???n?????因此采样后输出序列分别为cos?

??n???n???n?、和?coscos?????。 222??????xa1(t)，xa2(t)，xa3(t)的波形及采样点位置如题1解图所示。

xa1(t)xa2(t)121txa3(t)121t121t题1解图

由表达式及题1解图中可以看出

?a1(t)??x?a2(t)?x?a3(t) x34

?a2(t)和x?a3(t)恢复。由题意那么以采样频率?s?8?对xa2(t)和xa3(t)采样后，已不能由x可知，xa2(t)和xa3(t)的最高频率分别为

?m2?6???m3?s?4? 2??10??s?4?

2?a2(t)、x?a3(t)已不包含xa2(t)、xa3(t)的根据采样定理，采样的结果必然导致频谱混叠，x全部信息，因此无法恢复xa2(t)、xa3(t)。

2、以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试指出系统的因果性及稳定性。 (1) 0.3u(n) (2) (5) sin(n),n?0

n11un u?n? (4) ??n?4? (3) ??2nn! (6) ?(n?1)??(n)?3?(n?1)

(7) u(5?n) (8) 2nRN(n)

解：(1) 当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的；因为所以系统是稳定的。

(2) 当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的；因为系统是不稳定的。

(3) 当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的；因为

n????|h(n)|??0.3n?n?0???10，7n????|h(n)|???1??，所以2nn?0n????|h(n)|???111?1?1??????n!2?13?2?1n?0

111?1?1????????3248?所以系统是稳定的。

?(4) 当n??4?0时，h(n)1，所以系统是非因果的；因为

n?????h(n)?n?????(n?4)?1，所以系统是稳定的。

???(5) 当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的；因为

n???h(n)??sin(n)??，所

n?0?

以系统是不稳定的。

(6) 当n??1?0时，h(n)?1，所以系统是非因果的；因为是稳定的。

(7) 当n?5时，h(n)?1，所以系统是非因果的；因为系统是不稳定的。

(8) 当n?0时，h(n)?0，所以系统是因果的；因为

n????|h(n)|?5，所以系统

5?n????|h(n)|??1??，所以

n???N?1n?0n?n????|h(n)|??2??2N?1，只

要N有限，系统就是稳定的。

3、判断下列信号是否为周期的，并对周期信号求其基本周期。 (1) x(n)?cos(0.125?n) (2) x(n)?Re{ejn?12}?Im{e?jn?18}

j????3??n?) (4) x(n) ? e?6? (3) x(n)?Acos(78?n解：(1) 由于2?/?0?2?/0.125??16是有理数，所以x(n)是周期的，且周期为16。

j(2) 对于Re{e}，2???24，那么它的周期为24；对于Re{e18}，

jn?12n?122???36，则它的周期为36，x(n)的周期为这两个信号周期的最小公倍数，所以周期

18为72。

(3) 由于2?/?0?2?/3??14是有理数，所以x(n)是周期的，周期为14。

73(4) 利用欧拉公式

j(6??)x(n)?en ?cos(n??)?jsin(n??)66 ??cosn?jsinn66由于2? /?0?12?是无理数，所以x(n)是非周期的。

4、判断下列系统是否为线性、时不变、因果、稳定系统，说明理由。其中，x(n)与y(n)分别为系统的输入与输出。

(1) y(n)?nx(n) (2) y(n)?x(n)sin(3??n?) 7436

n(3) y(n)?m????x(m) (4)

y(n)?x(n?1)?x(n?1)

解：(1) 首先判断系统是否是线性系统，假设在x1(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)，即：

y1(n)?T[x1(n)]?nx1(n) y2(n)?T[x2(n)]?nx2(n)

那么当输入为x(n)?ax1(n)?bx2(n)时，系统的输出为

y(n)?T[x(n)]?T[ax1(n)?bx2(n)]?anx1(n)?bnx2(n)?ay1(n)?by2(n)所以系统是线性系统。

下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为x(n)，系统的输出

y(n)?T[x(n)]?nx(n)

当系统的输入为x1(n)?x(n?m)时，系统的输出

y1(n)?T[x1(n)]?nx1(n)?nx(n?m)?(n?m)x(n?m)

因为y(n?m)?(n?m)x(n?m)，显然y1(n)?T[x1(n)]?T[x(n?m)]?y(n?m)，所以系统是时变系统。

接下来判断系统是否为因果系统，y(n)与x(n)有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入x(n)?1有界，即

x(n)?1??

此时输出满足

y(n)?nx(n)?n??

因此系统为非稳定系统。

(2) 假设在x1(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n)，即：

y1(n)?T[x1(n)]?x1(n)sin(3??n?) 7437

y2(n)?T[x2(n)]?x2(n)sin(3??n?) 74那么当输入为x(n)?ax1(n)?bx2(n)时，系统的输出为

y(n)?T[x(n)]?T[ax1(n)?bx2(n)]3??3??n?)?bx2(n)sin(n?) 7474?ay1(n)?by2(n)?ax1(n)sin(所以系统是线性系统。

当系统的输入为x1(n)?x(n?m)时，系统的输出

y1(n)?T[x1(n)]?x1(n)sin(因

为

3??3??n?)?x(n?m)sin(n?) 7474(，

(显

然

y(n?m?)xn?m(3??)n?smi?n74)当m)?1时，

y1(n)?T[x1(n)]?T[x(n?1)]?y(n?1)，所以系统是时变系统。

y(n)与x(n)有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即

x(n)?Bx??

此时输出满足

y(n)?x(n)sin(因此系统为稳定系统。

3??n?)?x(n)?Bx?? 74(3) 当系统输入为x(n)?ax1(n)?bx2(n)时，系统的输出为

y(n)?T[x(n)]?T[ax1(n)?bx2(n)]?a?x1(m)?b?x2(m)m???m???nn

?ay1(n)?by2(n)所以系统是线性系统。

当系统的输入为x1(n)?x(n?l)时，系统的输出

y1(n)?T[x1(n)]?n?lm????x(m)??x(m?l)??x(m)

1m???m???nnn?l因为y(n?l)?m????x(m)，显然y(n)?T[x(n)]?T[x(n?l)]?y(n?l)，所以系统是时不

1138

变系统。

y(n)与x(n)及以前时刻的输入有关，所以该系统为因果系统。

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入x(n)?1有界，即

x(n)?1??

此时输出满足

y(n)?因此系统为非稳定系统。

m????x(m)??1??

m???nn(4) 当系统输入为x(n)?ax1(n)?bx2(n)时，系统的输出为

y(n)?T[x(n)]?T[ax1(n)?bx2(n)]?ax1(n?1)?bx2(n?1)?ax1(n?1)?bx2(n?1) ?ay1(n)?by2(n)所以系统是线性系统。

当系统的输入为x1(n)?x(n?m)时，系统的输出

y1(n)?T[x1(n)]?x1(n?1)?x1(n?1)?x(n?m?1)?x(n?m?1)

因为y(n?m)?x(n?m?1)?x(n?m?1)，显然y1(n)?T[x(n?m)]?y(n?m)，所以系统是时不变系统。

y(n)与将来时刻的输入x(n?1)有关，所以该系统为非因果系统。

最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即

x(n)?Bx??

此时输出满足

y(n)?x(n?1)?x(n?1)?2Bx??

因此系统为稳定系统。

5、已知线性时不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出

y(n)。

n(1)x(n)?2u(n)，h(n)?()u(n)

12n(2)x(n)?R4(n)，h(n)?R4(n)

(3) x(n)?anu(n)0?a?1，h(n)?bnu(n)0?b?1,a?b

(4)x(n)?u(n)，h(n)??(n?2)??(n?3)

解：(1) 由题知，

?1?y(n)?x(n)?h(n)??2u(m)???2?m???m?n?mu(n?m)

根据单位阶跃序列u(n)的特点，和式中m的取值范围为0?m?n，所以当n?0时，

y(n)?0，当n?0时，

y(n)?2n??4?m?0nm?12???2n?12n?2??12??

12?23n?1n综上，

2n?2??12?y(n)?u(n)

3(2) 由题可知，

ny(n)?x(n)?h(n)?R4(n)?R4(n)?n0?n?3??1?n?1,?m?0?3? ???1?7?n,4?n?6?m?n?3?其它?0,??(3) 由题知，

??y(n)?x(n)?h(n)?m????x(m)h(n?m)??am???mu(m)bn?mu(n?m)

根据单位阶跃序列u(n)的特点，和式中m的取值范围为0?m?n，所以当n?0时，

y(n)?0，当n?0时，

y(n)?a?综上，

nbm?0n?1??ab??an?1b?anm

bn?1?an?1y(n)?u(n)

b?a40

(4) 由题可知，

y(n)?x(n)?h(n)?u(n)?(?(n?2)??(n?3))?u(n?2)?u(n?3)??(n?2)

6、写出题6图所示系统的差分方程，并按初始条件y(n)?0,n?0求输入为x(n)?R3(n)时的输出响应。

x(n)?延延?y(n)?12题6图

解：设延迟后的输出为T(n)，那么由系统的结构图有

?1?T(n)?x(n)?T(n?1) ?2??T(n?1)?T(n)?y(n)两式相加得T(n)?2?y(n)?x(n)?，将其代入第一式可得 312?y(n?1)?x(n?1)??x(n?1)??y(n)?x(n)? 33y(n)?x(n)?x(n?1)?1y(n?1) 2整理后，系统的差分方程为

当y(n)?0,n?0时，利用迭代法求输入为x(n)?R3(n)时的输出响应如下，

y(0)?x(0)?x(?1)?1y(?1)?1； 215y(1)?x(1)?x(0)?y(0)?

222113?1?y(2)?x(2)?x(1)?y(1)??4?3??

24?2?1?1?y(3)?x(3)?x(2)?y(2)?4?3??

2?2?…

341

3?1?1??y(n)?x(n)?x(n?1)?y(n?1)??4?3???u(n)

2?2?????所以

3??1??y(n)??4?3???u(n)

?2?????7、已知一系统的差分方程为

y(n)?1y(n?1)?x(n) 2其输入序列x(n)?k?(n)，初始条件为y(?1)?a，求系统的输出y(n)。

解：由于初始条件已给定了n?0以前的输出，所以系统的输出响应只要从n?0开始求起。先由初始条件及输入求y(0)值：

y(0)?1ay(?1)?x(0)??k 22再由y(0)值及输入推导y(1)，并依次推导得y(2),y(3)，…。因而有：

y(1)?11?a1?a??y(0)?x(1)???k??0???k? 22?22?2??221?1??a??1??a?y(2)?y(1)?x(2)?????k??0?????k?

2?2??2??2??2?……

nn1?1??a??1??a?y(n)?y(n?1)?x(n)?????k??0?????k?

2?2??2??2??2?故系统的输出为

n?1??a?y(n)?????k?,?2??2?

8、设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定

n?0

y(n)?设系统是因果性的。试求： (a) 该系统的单位脉冲响应；

11y(n?1)?x(n)?x(n?1)22

(b) 由(a)的结果，利用卷积和求输入x(n)?ej?nu(n)的响应。

解：(a) 系统的单位脉冲响应就是当输入x(n)??(n)时，系统的输出h(n)。由于系统是因果的，因此

h(n)?0,n?0

利用迭代法求解n?0时的h(n)，

h(0)?1h(?1)?x(0)?1x(?1)?122h(1)?1h(0)?x(1)?1x(0)?1?1?12222

111h(2)?h(1)?x(2)?x(1)?222h(3)?1h(2)?x(3)?1x(2)?1222…

??2h(n)?1h(n?1)?x(n)?1x(n?1)?1222所以

??n?1

h(n)?12??n?1u(n?1)??(n)

(b) 系统的输出为单位脉冲响应与输入的卷积，即

y(n)?x(n)?h(n)1)n?1u(n?1)???n???ej?nu(n)??(???2?1)n?1u(n?1)??ej?nu(n)?ej?nu(n)??(???2??n1(m?1)j?(n?m)?j?n???()eu(n?1)?eu(n)?2?m?1?1e?j??1(1)ne?j?(n?1)22?2ej?n2u(n?1)?ej?nu(n)1?1e?j?2ej?(n?1)?(1)ne?j?2?u(n?1)?ej?nu(n)1?1e?j?2

ej?n?(1)n2u(n?1)?ej?nu(n)?ej??12

9、有一理想抽样系统，抽样频率为?s?6?，抽样后经理想低通滤波器Ha(j?)还原，其中：

?1?, ??3? Ha(j?)??2?0, ??3??43

有两个输入信号xa1(t)?cos2?t,xa2(t)?cos5?t，问输出信号ya1(t),ya2(t)是否有失真？

解：根据奈奎斯特定理可知，因为xa1(t)的频谱中最高频率为?a1?2??6??3?，

2所以输出信号ya1(t)无失真。

对于xa2(t)，其频谱中最高频率为?a2?5??6??3?，则输出信号ya2(t)失真。

第二章习题解答

1、求下列序列的z变换X(z)，并标明收敛域，绘出X(z)的零极点图。 (1) ()u(n) (2) (?)u(n) (3) (?0.5)nu(?n?1) (4) ?(n?1)

(5) ()[u(n)?u(n?10)] (6) a,0?a?1

解：(1) Z??0.5u(n)???图(1)。

(2) Z???14?u(n)??nn12n14n12nn?0.5n?0?nz?n?z，收敛域为z?0.5，零极点图如题1解

z?0.5?????14?n?0?1?nz?n?z，收敛域为z?14，零极点图如题1z?14解图(2)。

(3) Z??(?0.5)u(?n?1)???题1解图(3)。

(4) Z??(n?1??z，收敛域为z??，零极点图如题1解图(4)。 (5) 由题可知，

nn??????0.5?nz?n??z，收敛域为z?0.5，零极点图如

z?0.544

nnnZ??(0.5)[u(n)?u(n?10)]???Z??(0.5)u(n)???Z??(0.5)u(n?10)??z??0.510z?0.5z?0.510z?9??z?0.5收敛域为z?0，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于

z?10?zz?0.5z10?0.510z9(z?0.5)

a?anu(n)?a?nu(?n?1)

那么，

n??Z?anu(n)??Z?a?nu(?n?1)?Z?a??????zz ???1z?az?az(a?a?1)?(z?a)(z?a?1)n收敛域为a?z?1a，零极点图如题1解图(6)。

jIm[z]Re[z]jIm[z]Re[z]jIm[z]Re[z]00.5?140?0.50(1) (2) (3)

jIm[z]Re[z]jIm[z]9阶极点

Re[z]jIm[z]Re[z]000.50a1a(4) (5) (6) 题1解图

2、求下列X(z)的反变换。 (1) X(z)?1,z?0.5 ?11?0.5z1?0.5z?11,z? (2) X(z)?3121?z?1?z?24845

1?2z?11, z? (3) X(z)?141?z?14(4) X(z)?z?a1, z? 1?aza解：(1) 解法一：留数法

从收敛域z?0.5可以看出，x?n?是因果序列，即当n?0时，x(n)?0。

n?1X(z)z1znn?1?z? ?11?0.5zz?0.5当n?0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)zn?1在围线内的极点

z1??0.5如题2解图(1)所示，因为

Res??X(z)z所以

n?1?zn?n,z??0.5???z?0.5??0.5 ???????z?0.5??z??0.5x(n)???0.5?,n?0

n综上，

x(n)???0.5?u(n)

解法二：部分分式展开法

nX(z)?由于收敛域为z?0.5，所以

11 ?1?0.5z?11???0.5?z?1x(n)???0.5?u(n)

解法三：长除法

收敛域在圆外，是右边序列，按z的降幂排列。

n46

1?0.5z?1?(0.5)2z?2?(0.5)3z?3?z?0.5zz?0.5?0.5?0.5?(0.5)2z?1(0.5)2z?1(0.5)2z?1?(0.5)3z?2?(0.5)3z?2?(0.5)z?(0.5)z3?24?3

(0.5)4z?3由于X(z)?x(0)z0?x(1)z?1?x(2)z?2?x(3)z?3，那么

x(n)??1,?0.5,(?0.5)2,?(?0.5)3,?所以

?，

x(n)???0.5?u(n)

(2) 解法一：留数法

从收敛域z?0.5可以看出，x?n?是因果序列，即当n?0时，x(n)?0。

nX(z)zn?11?0.5z?1zn?1?0.5znn?1 ?z?3?11?21??1??1?z?z?z???z??484??2??n?1当n?0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)z在围线内的极点

z1??14和z2??12如题2解图(2)所示，因为

??n?1n1??zn?1?0.5zn?1????1??1?n?1Res?X(z)z,z???????z????4?????2????

114???4???????4??4?z???z??????4??2????z??14??n?1n1??zn?1?0.5zn?1????1??1?n?1Res?X(z)z,z???????z?????4?????2????

1??1??2???2????2??2?z?z???????4??2????z??12

jIm[z]jIm[z]C?0.5Re[z]11??24Re[z]题2解图(1) 题2解图(2)

所以

nn1?1????1??1?x(n)?Res?X(z)zn?1,z????Res?X(z)zn?1,z????4?????3????

4?2????2??4?综上，

n??1?n?1??x(n)??4?????3?????u(n)

?4?????2??解法二：部分分式展开法

11?z?143432 X(z)??????1?1??1?1?1?1z?11?1z?1?1??1?1??11????z1????z?1?z??1?z?24242???????4?由于收敛域为z?1，所以 2n??1?n?1??x(n)??4?????3?????u(n)

?4????2???(3) 由题可知

1?2z?17X(z)??8?

1?11?11?z1?z44收敛域为z?1，所以 4x(n)?8?(n)?7?14?u(?n?1)

n(4) 由题可知

X(z)z?a?a1?a2 ???zz?1?az?z1?az则

1?1? X(z)??a??a????1a?1?1az?收敛域为z?1，所以 a1??1??x(n)?(?a)??(n)??a??????u(n)a??a??11??1??????(n)??a??????u(n?1)aa??a??nn

3、假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域，对应不同的收敛域求x(n)。

1?2z4 X(z)?1?25?13?2(1?z)(1?z?z)4481?解：对X(z)的分子和分母进行因式分解得

11(1?z?1)(1?z?1)22X(z)?113(1?z?2)(1?z?1)(1?z?1)42411?z?12 ?1?11?13?1(1?jz)(1?jz)(1?z)224??1??1?5j?1?5j15???????13?1?1jz?11?1jz?11?3z?1??224?可以看出，X(z)的极点为z1?j2，z2??j2，z3??34。那么X(z)有三种不同的收敛域：z?1133，?z?和z?。下面分别讨论 22441(1) 当收敛域为z?时，

21??j??j??3?x(n)??(1?5j)????(1?5j)???15???13??2??2??4??nnn??u(?n?1) ??49

(2) 当收敛域为

13?z?时， 24nnn?1??j??j??3?x(n)??(?1?5j)???u(n)?(?1?5j)??u(n)?15???u(?n?1)?

13??2??2??4????(3) 当收敛域为z?3时， 4nnn1??j??j??3??x(n)??(?1?5j)????(?1?5j)???15????u(n)

13??2??2??4????

4、已知因果序列的z变换X(z)，求序列的初值x(0)和x(?)。

1?z?1?z?2(1) X(z)?

(1?z?1)(1?2z?1)z?1(2) X(z)?

1?1.5z?1?0.5z?2解：初值定理x(0)?limX(z)，终值定理x(?)?lim(z?1)X(z)。终值定理只有当

z??z?1n??时，x(n)收敛才可应用，即要求X(z)的极点必须在单位圆内（单位圆上的极点只

能位于?1，且是一阶极点。）若x(n)发散，则不存在终值。

1?z?1?z?2(1) x(0)?lim?1。

z??(1?z?1)(1?2z?1)X(z)的极点为z1?1和z2?2， x(n)发散，不存在终值。

z?1?0。 (2) x(0)?limz??1?1.5z?1?0.5z?2X(z)?z，X(z)的极点为z1?1和z2?0.5，x(n)收敛，

(z?1)(z?0.5)zz?lim?2。

(z?1)(z?0.5)z?1z?0.5x(?)?lim(z?1)z?1

5、已知Z[x(n)]?X(z)，求证Z[?x(k)]?z?1X(z)。

k?0nz证明：这里的z变换是指单边z变换，那么

?X(z)??x(n)z?n

n=0由于

?x(k)??x(k)u(k)u(n?k)??x(n)?u(n)??u(n)

k?0k???n?因此

?n?Z??x(k)??Z?x(n)?u(n)??Z?u(n)? ?k?0?由定义可知，对于单边z变换，

Z?x(n)??Z?x(n)?u(n)?

且

Z?u(n)??因此

z z?1Z[?x(k)]?k?0nzX(z) z?1

6、对因果序列，初值定理是x(0)?limX(z),如果序列为 n?0时x(n)?0，问相应的定理是

z??什么? 讨论一个序列x(n)，其z变换为：

719?1?z X(z)?12245?1?21?z?z2X(z)的收敛域包括单位圆，求x(0)（序列）值。

解：当序列满足n?0，x(n)?0时，有

X(z)?所以此时

n????x(n)z0?n?x(0)?x(?1)z?x(?2)z2????

limX(z)?x(0)

z?0若序列x(n)的z变换为，

719?17219?zz?z12241224X(z)??5?11?21?z?z(z?2)(z?) 22zz ???X1(z)?X2(z)4(z?2)3(z?1)2所以X(z)的极点为z1?2,z2?1。 21那么x1(n)?z?2，

2由题意可知，X(z)的收敛域包括单位圆，则其收敛域应该为为n?0有值的左边序列，x2(n)为因果序列，所以

z?0z?0z?04（z?2）z1

x2(0)?limX2(z)?lim?z??z??13（z?）32x1(0)?limX1(z)?lim1x(0)?x1(0)?x2(0)?

7、有一信号y(n),它与另两个信号x1(n)和x2(n)的关系是

y(n)?x1(n?3)?x2(?n?1)

?1??1?其中 x1(n)???u(n) ，x2(n)???u(n)

?2??3?已知 Z[au(n)]?nnn1 ，z?a ?11?az利用z变换性质求y(n)的z变换Y(z)。

解：根据题目所给条件可得，

X1(z)?Z?x1(n)??那么

1111,z?，X2(z)?Z?x2(n)??,z? 11231?z?11?z?123z31z?1Z?x1(n?3)??,?z??，Z?x2(?n?1)??,0?z?3

1?1211?z1?z23所以

z3z?13z31Y(z)?Z?x1(n?3)??Z?x2(?n?1)?????,?z?3

1111?z?11?z(z?3)(z?)2232

8、求以下序列x(n)的频谱X(ej?)。 (1) ?(n?n0) (2) e?anu(n) (3) e?(??j?0)nu(n) (4) e?anu(n)cos(?0n)

解：对题中所给的x(n)先进行z变换再求频谱， (1) x(n)的z变换为

X(z)?Z?x(n)??Z??(n?n0)??z?n0

所以

X(ej?)?X(z)|z?ej??e?jn0?

(2) x(n)的z变换为

?anX(z)?Z?e?u(n)???1

1?e?az?1所以

X(ej?)?X(z)|z?ej??(3) x(n)的z变换为

11?ee?a?j?

?(??j?0)nX(z)?Z?eu(n)????11?e?(??j?0)z?1

所以

X(ej?)?X(z)|z?ej??(4) x(n)的z变换为

1?e???e?j(???0)1?z?1e?acos?0X(z)?Z??eu(n)cos(?0n)???1?2z?1e?acos??z?2e?2a

0?an所以

1?e?j?e?acos?0 X(e)?X(z)|z?ej???j??a?2j??2a1?2eecos?0?eej?

9、设X(ej?)是如题9图所示x(n)信号的傅里叶变换，不必求出X(ej?)，试完成下列计算： (a) X(e) (b)

j0??X(e??j?)d?

j?2(c)

????X(ej?)d? (d)

x(n)321-4-3-2-1-121012????dX(e)d?

d?21234-11.52756-1n

题9图

解：(a) X(e)?j0n????x(n)e?????j0?n?n????x(n)?12.5；

?(b)

????X(ej?)d???X(ej?)ej0d??2?x(0)?2?；

??(c) 由帕塞伐公式可得

???X(e)d??2?j?2x(n)?n???2?66.5?

(d) 因为

X(e)?所以

j?x(n)e?n?????j?n

?dX(ej?)??(?jn)x(n)e?j?n d?n???即

dX(ej?)DTFT?(?jn)x(n)??

d?由帕塞伐公式可得

??dX(ej?)2d??2??|(?jn)x(n)|?2??n2x2(n)?718.5?

d?n???n???2????

10、已知x(n)的傅里叶变换X(ej?)，用X(ej?)表示下列信号的傅里叶变换。

x?(?n)?x(n)(a) x1(n)?x(1?n)?x(?1?n) (b)x2(n)?

2(c) x3(n)?(n?1)2x(n)

解：(a) 因为

DTFT?x(n)??X(ej?)

那么

DTFT?x(1?n)??e?j?X(e?j?) DTFT?x(?1?n)??ej?X(e?j?)

所以

j??j??j??DTFT[x1(n)]?X(e?j?)?e?e?2X(e)cos? ??(b) 由于

DTFT[x?(?n)]?X?(ej?)

所以

X?(ej?)?X(ej?)?j?DTFT[x2(n)]??Re?X(e)???2(c) 由题9的第(d)个小题

dX(ej?)dX(ej?) DTFT?nx(n)???j(?j)d?d?同理

djdX(ej?)d2X(ej?)DTFT??nx(n)?? ?j?d?(d?)??d?2

2所以

2DTFT?x3(n)??DTFT?n?x(n)???2DTFT?nx(n)??DTFT?x(n)?d2X(ej?)dX(ej?)j????2j?X(e)2d?d?

11、已知用下列差分方程描述的一个线性时不变因果系统 y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n?1) (a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位脉冲响应； (c) 画出系统的结构框图；

(d) 若n?0时，y(n)?0，x(n)?2?(0.4)nu(n), 求输出y(n)。

解：(a) 对差分方程两边进行z变换，得到

Y(z)?Y(z)z?1?Y(z)z?2?X(z)z?1

因此

Y(z)z?1 H(z)??X(z)1?z?1?z?2

零点：z0?0；极点：z1?1?51?5，z2?。 221?5；零极点图及其收敛区域如题11解图2由于系统为因果系统，因此收敛域为z?(1)所示。

(b) 利用部分分式有

z?1H(z)???1?21?z?z1515 ?1?5?11?5?11?z1?z22由于收敛域为z?1?5，所以 2nn?????11?51?5????u(n) h(n)?????????5??2??2????

jIm[z]z2z1Re[z]56

题11解图(1)

(d) 根据题意可知，

y(n)x(n)z?1z?1z?1题11解图(2)

X(z)?那么

2,z?0.4 ?11?0.4zz?12Y(z)?H(z)X(z)?? ?1?2?11?z?z1?0.4z????15152??????1?1?1?5z?11?1?5z?1?1?0.4z???22?

?(1?5)2?0.4(1?5)20.4??2?(1?5)2?0.40.4?(1?5)2(1?5)2?0.40.4?(1?5)2??????1??1?0.4z1?0.4z?151?5?11?5?1z1?z?1??22??收敛域为z?1?5，对Y(z)进行z反变换，可得 2n?1??1?5?n?1???1?5n?1n?1????0.4???0.4??2??2??2?y(n)????u(n)

5?1?51?5??0.4?0.4??22??

12、研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性时不变因果系统，已知它满足

y(n)?51y(n?1)?y(n?2)?x(n) 6657

试求其系统函数和单位脉冲响应。

解：对差分方程两边进行z变换，得到

51Y(z)?Y(z)z?1?Y(z)z?2?X(z)

66因此系统函数为

H(z)?Y(z)1 ?51X(z)1?z?1?z?266它的极点为z1?分式有

111和z2?。由于系统为因果系统，因此收敛域为z?。那么利用部分232H(z)?所以单位脉冲响应为

?23 ?1?11?11?z1?z32n??1?n?1??h(n)??3???2???u(n)

?3?????2??

13、题13图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

b0?0.5,b1?0.14,a1?0.5时，求系统单位脉冲响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

a1 y(n) ?1?1x(n)zz

题13图

解：假设加法器的输出为f(n)，由系统的结构框图可知

?f(n)?b0f(n?1)?b1f(n?2)?x(n) ??y(n)?a1f(n?1)联立解得，

y(n?1)b0y(n)b1y(n?1)???x(n) a1a1a1即

y(n)?b0y(n?1)?b1y(n?2)?a1x(n?1)

对差分方程两边进行z变换得

Y(z)?b0z?1Y(z)?b1z?2Y(z)?a1z?1X(z)

因此系统函数为

a1z?1Y(z) H(z)??X(z)1?b0z?1?b1z?2当 b0?0.5,b1?0.14,a1?0.5时，系统函数为

0.5z?111H(z)???

1?0.5z?1?0.14z?21?0.7z?11?0.2z?1它有一个零点z0?0，两个极点z1?0.7和z2??0.2，零极点图如题13解图(1)所示。由于系统是因果稳定系统，因此H(z)的收敛域为z?0.7，那么单位脉冲响应为

nn?h(n)??0.7?(?0.2)??u(n)

当系统是稳定系统时，频率响应H(ej?)就是H(z)在单位圆上的值，

H(e)?H(z)z?ej?j?0.5e?j?? 1?0.5e?j??0.14e?2j?其幅频响应和相频响应如题13解图(2)(3)所示

jIm[z] 0.7?0.2 (1)

Re[z]

(2) (3)

题13解图

14、已知一线性时不变离散系统，其激励x(n)和响应y(n)满足下列差分方程：

1y(n)?y(n?1)?x(n)

359

（1）试画出该系统的结构框图。

（2）求该系统的系统函数H(z)，并画出零极点图。

（3）求系统的单位脉冲响应h(n)，并讨论系统的稳定性和因果性。

解：(1) 系统的结构框图如题14解图(1)所示。

x(n)?13y(n)z?1题14解图(1)

(2) 对差分方程两边进行z变换，得到

1Y(z)?Y(z)z?1?X(z)

3因此系统函数为

H(z)?Y(z)1 ?1X(z)1?z?13它的零点为z0?0，极点为z1?

(3) H(z)有一个极点z1?当收敛域为z?1。零极点图如题14解图(2)所示。 3jIm[z]013Re[z]题14解图(2)

111，因此收敛域有两种情况：z?和z?。 3331时，系统即不是因果的也不是稳定的，系统的单位脉冲响应为 3?1?h(n)????u(?n?1)

?3?当收敛域为z?n1时，系统为稳定的因果系统，系统的单位脉冲响应为 3?1?h(n)???u(n)

?3?

n第三章习题解答

1、设xa(t)是一个周期连续时间信号，

xa(t)?Acos(200?t)?Bcos(500?t)

以采样频率fs?1kHz对其进行采样，计算采样信号

??????x(n)?xa(nTs)?Acos?n??Bcos?n?

?5??2?的离散傅里叶级数。

解：x(n)中第一项的周期为N1?10，第二项的周期为N2?4，两项之和的周期是

N?20，可以写成

?2???2??x(n)?Acos?2n??Bcos?5n?

?20??20?用复指数表示x(n)，有

?2?2?2?2n?j2nj5n?j5nAj2ABBx(n)?e20?e20?e20?e20

2222利用复指数的周期性，有

e那么x(n)可以表示成

?j2?2n20?ej2?18n20，e?j2?5n20?ej2?15n20

?2?2?2?2nj18nj5nj15nAj2ABBx(n)?e20?e20?e20?e20

2222上式是DFS分解的形式

2?jnk119x(n)??X(k)e20

20k?0所以

X(2)?X(18)?10A，X(5)?X(15)?10B

k?0到k?19的其它DFS系数等于0。

2、求下列序列的N点DFT: (1) x(n)?1 (2) x(n)??(n)

(3) x(n)??(n?n0)，其中0?n0?N (4) x(n)?an 0?n?N

(5) x(n)?u(n)?u(n?n0),其中0?n0?N (6) x(n)?ej2?mnN,0?m?N

(7) x(n)?cos?(8) x(n)?ej?0n?2??mn?,0?m?N ?N?RN(n)

(9) x(n)?sin(?0n)RN(n) (10) x(n)?cos(?0n)RN(n)

解：(1) 由DFT的定义

knX(k)??1?WN??en?0n?0N?1N?1?j2?knN?1?e?j2?kNN2?kN1?e?j?N, k?0???0, k?1,2,,N?1

(2) 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义得到：

nkX(k)???(n)WN?1,n?0N?10?k?N

另一种方法是利用DFT相当于X(z)在单位圆上作N点等间隔采样的结果这一定义来求解，由于X(z)?1,所以X(k)?1。

(3) x(n)的DFT仍然可以直接由定义计算。这里采用第二种方法，DFT相当于X(z)在单位圆上作N点等间隔采样。由于X(z)?z采样，求得

n0k，0?k?N X(k)?WN?n0?k，对X(z)在z?WN,k?0,1,,N?1上

(4) 由DFT的定义

X(k)??x(n)Wn?0N?1N?1nkNnk??anWNn?0N?11?aNkn??(aWN)?, 0?k?Nk1?aWNn?0(5) 由DFT的定义

n0?1n?0kn01?WN ?k1?WNX(k)??W从分子中提出复指数WNkn0/2nkNk/2，从分母中提出复指数WN，则DFT可以写为

X(k)?Wk(n0?1)/2N2?kn0?1?kn0/2kn0/2?j()sin(n?k/N)WN?WN0N2?e,0?k?N ?k/2k/2WN?WNsin(?k/N)(6) 由DFT的定义

X(k)??en?0N?1j2?mnN?WknN??en?0N?1j2?(m?k)nN?(7) 由DFT的定义

1?e?j2?(m?k)NN2?(m?k)N1?eN?1?j?N, k?m??? 0?k?N?0, k?m2?2?

?2??knN?11?jNmn?jNmn??jNknX(k)??cos?mn??WN???e?e?e?N?n?0n?02???1e?2n?0N?12?j(m?k)nN2??1e?2n?0N?1?j2?(m?k)nN

2?2?j(m?k)N?j(m?k)N??1?1?eN1?eN???2?2?j(m?k)?j(m?k)?2?N1?eN???1?e?

?N?, k?m,k?N?m??2, 0?k?N??0, k?m,k?N?m(8) 由DFT的定义

X(k)??en?0N?1j?0nWknN??en?0N?1j(?0?2?k)nN?1?ej(?0?2?k)NN2?k)N1?ej(?0???2?sin??2?N?1??0Nj(?0?k)()??N2?e??2?sin???0?N???N? k???2?, 0?k?N??k?/2???或 X(k)?(9) 解法一：

1?ej?0N1?ej(?0?2?k)N, 0?k?N

x(n)?sin(?0n)RN(n)?由DFT的定义

1j?0n?j?0n??e?eRN(n) ??2j63

N?1n?0X(k)??x(n)WknN?kn1N?1j?0n?j?0n?j2N?????e?e?e2jn?0?N?1?j(??2?k)nk)n?1?N?1j(?0?2N0N???e??e?2j?n?0n?0?

?j?0N?j?0N1?1?e1?e?,???2?2?j(?0?k)?j(?0?k)?2j?NN1?e?1?e?解法二：由DFT的共轭对称性求解，因为

0?k?Nx(n)?ej?0nRN(n)??cos(?0n)?j sin(?0n)?RN(n)

那么

x(n)?sin(?0n)RN(n)?Im?x8(n)?

其中x8(n)?ej?0n，所以 RN(n)（第(8)小题中的信号）

DFT?j x(n)??DFT??j Im?x8(n)????即

1??X(k)?X(N?k)? 88??21?X(k)??j?X(k)?X(N?k)?88?2??????j?0Nj?0N1?1?e1?e?????2?2?j(?0?k)j(?0?(N?k))???2j?NN?1?e????1?e??j?0N?j?0N1?1?e1?e?,???2?2?j(??k)?j(??k)2j??00NN1?e?1?e?结果与解法一所得结果相同。此题验证了共轭对称性。

(10) 解法一：

0?k?Nx(n)?cos(?0n)RN(n)?由DFT的定义

N?1n?01j?0n?j?0n??e?eRN(n) ??2X(k)??x(n)WNkn?kn1N?1j?0n?j?0n?j2N?????e?e?e2n?0

?j?0N?j?0N1?1?e1?e?,???2?2?j(??k)?j(??k)2??00NN1?e?1?e?解法二：由DFT的共轭对称性求解，因为

0?k?Nj?0nx(n)?cos(?0n)RN(n)?Re?eRN(n)????Re?x8(n)?

j?0n其中x8(n)?e，所以 RN(n)（第(8)小题中的信号）

X(k)?DFT?x(n)??1??X(k)?X(N?k)?88??2?j?0N?j?0N1?1?e1?e?,???2?2?j(?0?k)?j(?0?k)?2?NN1?e?1?e?

0?k?N

3、已知X(k)，求其10点IDFT

?3 k?0 X(k)??1 1≤k≤9?解：X(k)可以表示为

X(k)?1?2?(k) 0?k?9

写成这种形式以后，就可以很容易确定DFT反变换。由于一个单位脉冲序列的DFT变换为

常数，

DFT??(n)??1

同样，一个常数的DFT变换是一个单位脉冲序列，

DFT?1??N?(k)

所以

x(n)?

4、计算序列的N点DFT：

1??(n),50?n?10

x(n)?cos(n?0) 0?n?N?1

比较?0?2?k0/N与?0?2?k0/N时DFT系数的值，解释有什么不同。

解：如果用复指数表示这个余弦序列，就很容易计算该序列的N点DFT：

x(n)?分别计算每一项的DFT，可以得到

1jn?01?jn?0e?e 22X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN??k??0)k??0)1N?1?jn(2N1N?1?jn(2N ??e??e2n?02n?0当?0?2?k0/N时，

??(k?k0)(k?k0)1N?1?jn2N1N?1?jn2N X(k)??e??e2n?02n?0由于第一项是频率?0?2?(k?k0)/N的复指数和，只有当k?k0时和为N，k为其它值时和为0。同样，对于第二项，只有当k?N?k0时和为N，k为其它值时和为0。因此，若

?0?2?k0/N，DFT系数为

?N k?k0,N?k0?， X(k)??2??0，其它一般情况下，当?0?2?k0/N时，

????0)k??0)1N?1?jn(2N1N?1?jn(2NX(k)??e??e2n?02n?011?e11?e????2?2??j(k??)?j(k??0)220N1?e1?eN分子、分母中分别提出一个复指数，那么

?jN(2?k??0)N?jN(2?k??0)N

1X(k)?e2N?12??j()(k??0)2Nsin(?k?N?0N?0)sin(?k?)N?12?2?1e?j(2)(Nk??0)2 ?k??k?sin(?0)2sin(?0)N2N2对于每一个k来说，除非?0是2?/N的整数倍，否则一般情况下X(k)是非零值。造成这两种区别的原因在于X(k)相当于是对x(n)的DTFT进行采样的结果。

X(e)??cos(n?0)ej?n?0N?1?jn?1?j(N2?1)(???0)sinN(???0)/2?e2sin(???0)/21?e2?j(N?1)(???0)2sinN(???0)/2sin(???0)/2

在区间?0,2??内进行N点等间隔采样时，一般情况下采样值非零，但是当?0?2?k0/N时，除了k?k0和k?N?k0两点，其余的采样点都在正弦函数的过零点上。

5、两个长度为N的序列x(n)、h(n)的N点圆周卷积可以用矩阵的形式表示如下

y=Hx

其中，H是一个N?N的循环矩阵，x和y是矢量，分别包含信号值x(0),x(1),和y(0),y(1),,x(N?1),y(N?1)。确定矩阵H的形式。

解：x(n)与h(n)的圆周卷积为

?N?1?Nh(n)=?y(n)?x(n)○x(k)h((n?k))?N?RN(n)

?k?0?具体地，y(0)是x(k)与圆周时间翻转序列h((?k))N乘积的和

y(0)?h((0))Nx(0)?h((?1))Nx(1)?h((?2))Nx(2)??h(0)x(0)?h(N?1)x(1)?h(N?2)x(2)??h((?N?1))Nx(N?1)?h(1)x(N?1)

接下来，对于y(1)，将h((?k))N圆周右移1位，再与序列值x(k)相乘

y(1)?h(1)x(0)?h(0)x(1)?h(N?1)x(2)?继续这个过程直到得到最后一个值，

h(2)x(N?1)

y(N?1)?h(N?1)x(0)?h(N?2)x(1)?h(N?3)x(2)?如果我们将这些等式安排成矩阵的形式，就有

?h(0)x(N?1)

h(N?1)h(N?2)?y(0)??h(0)?y(1)??h(1)h(0)h(N?1)????y(2)???h(2) h(1)h(0)????????y(N?1)????h(N?1)h(N?2)h(N?3)h(1)?h(2)??h(3)???h(0)???x(0)??x(1)????x(2)? ??????x(N?1)??注意矩阵H的第二行由第一行圆周右移1位得到，这个移位相当于是序列h(n)的圆周移位。同样，第三行是第二行右移一位得到，以此类推。由于这个循环性质，H就称为循环矩阵。

?n?1, 0≤n≤46、设x(n)??, h(n)?R4(n?2)

0, 其他n?令x(n)?x((n))6,h(n)?h((n))6,试求x(n)与h(n)的周期卷积并作图。

解：可以用列表法求解，在一个周期内

y(n)?x(n)?h(n)??x(m)h(n?m)

m?05x(m)和h(n?m)如题6解表所示，

题6解表

h(n?m)x(m) 1 0 0 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 3 1 1 0 0 1 1 4 1 1 1 0 0 1 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 y(n) 14 12 10 8 6 10 n 0 1 2 3 4 5 只要将表中对应于某个n的一行中的h(n?m)值和第一行中与之对应的x(m)值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n的y(n)值。y(n)如题6解图所示。

7、已知x(n)为?1,1,3,2,n?0,1,2,3?，试画出x((?n))5，x((?n)6R6(n)，x((n))3R3(n)，

y(n)1412108106…

?6…

5011n题6解图

x((?n))6，x((n?3))5R5(n)，x((n))7R7(n)等各序列。

解：此题需注意周期延拓的数值，也就是x((n))N中N的数值。如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。各序列如题7解图所示。 x((?n))5x((?n))6R6(n) 33 222 11 …

5n4?5900 n

x((n))3R3(n)32121?6x((?n))63…

02…

05n11n68

8．已知两个有限长序列为

x((n?3))5R5(n)32114x((n))7R7(n)320n06n题7解图

?n?1, 0?n?3x(n)???0, 4?n?6

??1, 0?n?4y(n)???1, 5?n?6试用作图表示x(n),y(n)以及f(n)?x(n)⑦y(n)。

解：直接利用圆周卷积公式求解，结果如题8解图所示。

题8解图

9、已知x(n)是N点有限长序列，X(k)?DFT?x(n)?。现将长度变成rN点的有限长序列

y(n)

?x(n), 0?n?N?1 y(n)??0, N?n?rN?1?试求rN点DFT?y(n)?与X(k)的关系。

解：由于

2?nkNX(k)?DFT?x(n)???x(n)en?0N?1?j,0?k?N

可得

Y(k)?DFT?y(n)????x(n)en?0N?1?j2?knNrrN?1n?0?y(n)WnkrNnk??x(n)WrNn?0N?1?k??X??,?r?

k?lr,l?0,1,,N?1当k为r的整数倍时，Y(k)与X??k??相等。 ?r?10、已知x(n)是N点的有限长序列，现将x(n)的每两点之间补进r?1X(k)?DFT?x(n)?，个零值点，得到一个rN点的有限长序列y(n)

?x(n/r), n?ir,i?0,1,y(n)???0, 其它n试求rN点DFT?y(n)?与X(k)的关系。

解：由于

,N?1

nkX(k)?DFT?x(n)???x(n)WN, 0?k?N

n?0N?1可得

Y(k)?DFT?y(n)??N?1i?0rN?1n?0?y(n)WN?1i?0nkrN

irkik??x(ir/r)WrN??x(i)WN,0?k?rN?1所以

Y(k)?X((k))NRrN(k)

Y(k)是将X(k)（周期为N）延拓r次形成的，即Y(k)周期为rN。

11、频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明。

解：利用频域抽样间隔F0和时域抽样频率fs以及抽样点数N的关系fs?NF0。由

fs?得

?s?， F0?0 2?2?70

fs?s ?F0?0其中?s是以角频率为变量的频谱的周期，?0是频谱抽样之间的频谱间隔。又

fs?s??N F0?0则

F0?对于本题有

fs Nfs?8kHz, N?512

所以

F0?8000?15.625Hz 512

12、设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力?10Hz，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理的信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。

解：抽样间隔T和抽样频率fs满足fs?1/T，记录长度T0和频域分辨力F0的关系为抽样定理为fs?2fh（fh为信号最高频率分量），一个记录中最少的抽样总数NT0?1/F0，满足

N?T0fs2fh ??TF0F0(1) 因为T0?1，而F0?10Hz，所以 F0T0?1s 10即最小记录长度为0.1s。

(2) 因为fs?11??103?10kHz，而 T0.1fs?2fh

所以

fh?即允许处理的信号的最高频率为5kHz。

1fs?5kHz 271

(3) N?10T00.1??103?1000，又因N必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点T0.1数为N?2?1024。

13、设x(n)为存在傅里叶变换的任意序列，其z变换为X(z)，X(k)是对X(z)在单位圆上的N点等间隔采样，即

X(k)?X(z)z?ej2?kN,? 1， k?0,1,N求X(k)的N点离散傅里叶逆变换（记为xN(n)）与x(n)的关系式。

解：由题意知

X(k)?X(ej?)??2?kN,? 1， k?0,1,N即X(k)是对X(ej?)在?0,2??上的N点等间隔采样。由于X(ej?)是以2?为周期的，所以采样序列

X(k)?X(ej?)??2?kN?X((k))N

即X(k)以N为周期。所以它必然与一周期序列xN(n)相对应，X(k)为xN(n)的DFS系数。根据xN(n)与xN(n)的关系

xN(n)?IDFT?X(k)??xN(n)RN(n)

只要求出xN(n)与x(n)之间的关系式，则xN(n)与x(n)之间的关系式就得了。由DFS展开公式有

2?jkn1N?1xN(n)??X(k)eN

Nk?0为了导出xN(n)与x(n)之间的关系，应将上式中的X(k)用x(n)表示：

X(k)?X(z)z?ej2?kN?n????x(n)z??nz?ej2?kN?n????x(n)e??j2?knN

所以

2?2??N?1j2?k(n?m)?jkm?jkn1N?1??1 xN(n)????x(m)eN?eN??x(m)?eNNk?0?m???Nk?0m????72

因为

?k(n?m)?1, m?n?rN,r为整数1N?1j2N e???Nk?0?0, 其它m所以

xN(n)?r????x(n?rN)

?即xN(n)是x(n)的周期延拓序列，由此可得出

xN(n)?IDFT?X(k)??xN(n)RN(n)?r????x(n?rN)R?N(n)

xN(n)?IDFT?X(k)?为x(n)的周期延拓序列（以N为延拓周期）的主值序列。

14、用DFT对模拟信号进行谱分析，设模拟信号xa(t)的最高频率为200Hz，以奈奎斯特频率采样得到时域离散序列x(n)?xa(nT)，要求频率分辨率为10Hz。假设模拟信号频谱如题14图所示，试画出X(e)?FT?x(n)?和X(k)?DFT?x(n)?的谱线图，并标出每个kj?值对应数字频率?k和模拟频率fk的值。

题14图模拟信号xa(t)的频谱图

解：因为最高频率fmax?200Hz，频率分辨率F?10Hz，所以采样频率fs为

fs?2fmax?400次/s，T?观察时间

11?s fs40073

Tp?采样点数

1?0.1s FN?Tpfs?0.1?400?40

所以，对xa(t)进行采样得

x(n)?xa(nT), n?0,1,j?,39

?k? ?1?2???X(e)?FT?x(n)???Xa?j?jTk????TT?k??j2NX(k)?DFT?x(n)??X?e?, k?0,1,??,39

X(ej?)及X((k))N分别如题14解图所示。当fs?2fmax时，f?fmax对应

??2?fT?2?N2?fmaxk可求得k?；当fs?2fmax时，fmax对应的??，由????N22fmax数字频率??2?fmaxT??。Xa(jf)与X(k)的对应关系（由题14图和题14解图(2)可看出）为

TX(k)?Xa(jkF), k?0,1,F?fs1? Hz NNT,N 2

题14解图(1) 题14解图(2)

该题主要说明了模拟信号xa(t)的时域采样序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)与

xa(t)的频谱Xa(jf)之间的对应关系。只有搞清该关系，才能由X(k)看出Xa(jf)的频谱

特征。否则，即使计算出X(k)，也搞不清X(k)的第k条谱线对应于Xa(jf)的什么频率点的采样，这样就达不到谱分析目的。实际中，X(k)求出后，也可以将横坐标换算成模拟频率，换算公式为fk?kF?k/(NT)，直接作出Xa(kF)?Xa(fk)?TX(k)谱线图。

15、已知下列X(k)，求x(n)?IDFT?X(k)?。

?Nj??2e, k?m??N?j?（1）X(k)??e, k?N?m

?2?0, 其他???Nj???j2e, k?m??N?j?（2）X(k)??je, k?N?m

?2?0, 其他??其中，m为正整数，0?m?N，N为变换区间长度。 2解：（1）由IDFT的定义，

1N?1?kn x(n)?IDFT?X(k)???X(k)WNNk?0??mn(N?m)n??Nj?j2NN?j?j2N?ee?ee?22???2?mn??)?j(mn??)?1?j(2N ??e?eN?2???2???cos?mn???,0?n?NN??1?N(2) 由IDFT的定义，

1x(n)?IDFT?X(k)??N?1N?X(k)Wk?0N?1?knNN?j??(N?m)n??Nj??mn?jeW?jeWNN??22?? 2?2?j(mn??)?j(mn??)??1??eN?eN?2j???2???sin?mn???,0?n?NN??16、证明DFT的对称定理，即假设

X(k)?DFT?x(n)?

证明DFT?X(n)??Nx(N?k)。

证明：因为

kn X(k)??x(n)WNn?0N?1所以

DFT?X(n)???X(n)Wn?0N?1N?1knN?N?1mn?kn????x(m)WN?WN

n?0?m?0?N?1n(m?k) ??x(m)?WNm?0n?0N?1由于

?N, m?N?kn(m?k) W???Nn?0?0, m?N?k,0?m?NN?1所以

DFT?X(n)??Nx(N?k),0?k?N

17、如果X(k)?DFT?x(n)?，证明DFT的初值定理

1N?1x(0)??X(k)

Nk?0证明：由IDFT的定义，

1N?1?knx(n)??X(k)WN,Nk?0可知

0?n?N

1N?1x(0)??X(k)

Nk?0

第四章习题解答

1、如果一台通用计算机平均每次复数乘法的时间为1μs，每次复数加需要0.1μs，用它来计算1024点的DFT[x(n)]，请问直接计算DFT需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？

解：

(1) 直接计算复乘所需时间

T1?1?10?6?N2?1?10?6?10242?1.048576s

复加所需时间

T2?0.1?10?6?N?(N?1)?0.1?10?6?1024?(1024?1)?0.1047552s

所以 T?T1?T2?1.1533312s (2) 利用FFT计算复乘所需时间

T1?1?10?6?复加所需时间

N1024lbN?1?10?6?lb(1024)?0.00512s 22T2?0.1?10?6?NlbN?0.1?10?6?1024lb(1024)?0.001024s

所以 T?T1?T2?0.006144s

2、如果采用某种专用DSP芯片进行DFT运算，计算一次复数乘法的时间为10ns左右，计算一次复数加法的时间为2ns。用它来计算1024点的DFT[x(n)]，请问直接计算DFT需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？

解：直接计算1024点DFT所需计算时间TD为：

TD?10?10?9?10242?2?10?9?1024?(1024?1)?0.4194?0.1048?0.012580864 s用FFT计算1024点DFT所需计算时间TF为

TF?10?10?9?NlbN?2?10?9?NlbN21024?1?10?8??10?2?10?9?1024?10

2?5.12?10?5?2.048?10?5?0.07168ms3、设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。 (1) 试设计用一次N点FFT完成计算X(k)的高效算法。

(2) 若已知X(k)，试设计用一次N点IFFT实现求x(n)的2N点IDFT运算。 [分析与提示]：本题的解题思路就是DIT-FFT思想。

解 (1) 在时域分别抽取偶数点和奇数点x(n)得到两个N点实序列x1(n)和x2(n)

x1(n)?x(2n), n?0,1,,N?1 x2(n)?x(2n?1), n? 0,1,N? ,1根据DIT-FFT的思想，只要求得x1(n)和x2(n)的N点DFT，再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。因为x1(n)和x2(n)均为实序列，所以根据DFT的共轭对称性，可用一次N点FFT求得X1(k)和X2(k)。具体方法如下：令 y(n)?x1(n)?jx2(n)

Y(k)?DFT?y(n)?, k?0,1,则

,N?1

1?Y(k)?Y?(N?k)??? 21?jX2(k)?DFT?jx2(n)??Yop(k)??Y(k)?Y(N?k)? ??2X1(k)?DFT?x1(n)??Yep(k)?2N点DFT?x(n)??X(k)可由X1(k)和X2(k)得到

k??X(k)?X1(k)?W2NX2(k), k?0,1,?kX(k?N)?X(k)?W?12NX2(k)?,N?1

这样，通过一次N点IFFT计算就完成了计算2N点DFT。当然还要进行运算量相对很少的，由Y(k)求X1(k),X2(k)和X(k)的运算。

(2)与(1)相同，设

x1(n)?x(2n), n?0,1,x2(n)?x(2n?1), n?0,1,,N?1 ,N?1

X1(k)?DFT?x1(n)?, k?0,1,X2(k)?DFT?x2(n)?, k?0,1,则应满足关系式

,N?1 ,N?1

,N?1k??X(k)?X1(k)?W2NX2(k), k?0,1,?k??X(k?N)?X1(k)?W2NX2(k)

由上式可解出

1?X(k)?X(k?N)?2

1X2(k)??X(k)?X(k?N)?W2?Nk2X1(k)?由以上分析可得出运算过程如下：

①由X(k)计算出X1(k)和X2(k)

1?X(k)?X(k?N)?2

1X2(k)??X(k)?X(k?N)?W2?Nk2X1(k)?②由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Y(k)

Y(k)?X1(k)?jX2(k)?Yep(k)?Yop(k)

其中Yep(k)?X1(k),Yop(k)?jX2(k)，进行N点IFFT得到

y(n)?IFFT?Y(k)??Re?y(n)??jIm?y(n)? n?0,1,由DFT的共轭对称性知

,N?1

1?y(n)?y?(n)??DFT?Yep(k)??x1(n) ????21?jIm?y(n)???y(n)?y(n)??DFT?Yop(k)??jx2(n) ????2Re?y(n)??③由x1(n)和x2(n)合成x(n)

??n??x1?2?, n?偶数???x(n)?? 0≤n≤2N-1

?x?n?1?,2?? n?奇数???2?在编程序实现时，只要将存放x1(n)和x2(n)的两个数组的元素分别依次放入存放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可。

4、N?16时，画出基-2按时间抽选方法及按频率抽选法的FFT流图（时间抽选采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽选采用输入自然顺序，输出倒位序）。

[分析与提示]：DIF的复数乘法出现在减法之后；DIT的复数乘法出现在加法、减法之前，它们的基本碟形是互为转置的。

解： (1) 按时间抽选，见题4解图(1)。 (2) 按频率抽选，见题4解图(2)。

x?0?x?8?x?4?0W16X?0??10W16X?1??1X?2?X?3?W016x?12?x?2?0W164W16?1?1x?10?x?6?0W162W16?1?1?1?1X?4?X?5?X?6?X?7??10W164W16?10W164W16x?14?6W16x?1?x?9?x?5?0W16?1?1?1W0W16116?1X?8??1?1?1?10W162W16X?9?X?10?X?11?X?12?X?13?X?14?X?15? ?10W164W16x?13?x?3?W0W16216316?1?14W16?15W16?1?16W16x?11?x?7?0W16W?10W164W16?1?1?16W167W16?1?1x?15?0W164W16?1?1?1

题4解图(1)

x?0?x?1?x?2?x?3?x?4?x?5?x?6?x?7?x?8?x?9?x?10?x?11?x?12?x?13?x?14?x?15?X?0?WW?1016016?1X?8?X?4?W416W?1016W?1?1?1016216416616?1X?12?X?2?WWW?1?1016016WW?1X?10?X?6?W416W?1016W0?116?1?1?1?1?1?1?1?1X?14?X?1?W116WW?10160162W16?1X?9?X?5?WWWWW316416516616716W416W?1016W?1?1?1?1016216416616?1X?13?X?3?WWW?1?1016016WW?1X?11?X?7?4W16W?1016X?15?

题4解图(2)

5、一个长度为N?8192的复序列x(n)与一个长度为L?512的复序列h(n)卷积。 (a) 求直接进行卷积所需（复）乘法次数。

(b) 若用1024点基2按时间抽选FFT重叠相加法计算卷积，重复问题(a)。

解：

(a) 若x(n)长为N?8192，h(n)长为L?512，则直接进行卷积所需复乘数为

512?8192?4194304

(b) 用1024点FFT的重叠相加法，乘法数如下：由于h(n)长度为512点，可以将x(n)分成长度为N?512的序列xi(n)，这样h(n)与xi(n)1024点的圆周卷积与线性卷积与线性卷积相等（虽然可以将分段的长度定为513，但这样不会节约任何计算量）。

x(n)的长度为8192，这就意味着将会有16个长度为512点的序列。所以为了进行卷

积，必须计算17个DFT变换与16个DFT反变换。

另外，必须形成Yi(k)?H(k)Xi(k),i?1,2,,16。这样，全部的复乘次数大约为：

33?512lb(1024)?16?1024?185344

大约是直接进行卷积所需复乘次数的4.5%。

6、以10kHz采样率对语音信号进行采样，并对其实时处理，所需的部分运算包括采集1024点语音值块、计算一个1024点的DFT变换和一个1024点的DFT反变换。若每一次实乘所需时间为1μs，那么计算DFT变换和DFT反变换后还剩下多少时间用来处理数据？

解:对于10kHz的采样率，每102.4ms就要采集一个1024点的数据块。若用基-2FFT，1024点DFT的复乘数大约为512?lb(1024)?5120。由于一次复乘包括4次实乘，这就意味着DFT或反DFT都需要进行5120?4?20480次实乘。一次实乘需1μs，就要用时间：

t?2?10?6?20480?40.96ms

这样只剩下61.44ms用来进行其他的处理。

7、对一个连续时间信号xa(t)采样1s得到一个4096个采样点的序列： (a) 若采样后没有发生频谱混叠，xa(t)的最高频率是多少？

(b) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT系数之间的频率间隔是多少Hz？

解：

(a) 在1s内采样4096点意味着采样频率是fs?4096Hz。若对xa(t)采样后没有发生频谱混叠，采样频率必须至少是xa(t)最高频率的两倍。所以xa(t)的最高频率为

f0?2048Hz。

(b) 对于4096点DFT，我们在0到2?内对X(ej?)等间隔采样4096点，相当于在

0≤f≤4096Hz范围内采样4096点。所以频率间隔是?f?1Hz。

101?4096?413696

另一方面，若采用FFT，则所需的乘法次数为

2048?lb(4096)?24576

所以，即使FFT计算了0≤f≤4096Hz范围内所有频率采样点，但仍然比直接计算这101个采样点效率高。

1NlbN次复乘，直接计算M个DFT需要M?N次复乘。 211M?N?NlbN 或 M≥lbN

22求M个采样点时FFT就会更有效。N?4096时，频率采样点数为M?6。

(d) 一个N点FFT需要8、设x(n)是长度为N的序列，且

N??x(n)??x?n?? n?0,1,2??其中N是偶数。

(a) 证明x(n)的N点DFT仅有奇次谐波，即

,N?1 2X(k)?0 k为偶数

(b) 证明如何由一个经过适当调整的序列的N/2点DFT求得x(n)的N点DFT。

解:

(a) x(n)的N点DFT为

N?1n?0N?12n?0N?12n?0nknkX(k)??x(n)WN??x(n)WN??x(n?N?12N(n?N/2)k )WN2N?nk? ???x(n)?(?1)kx(n?)?WN2?n?0?由于x(n)??x(n?N/2)，若k为偶数，求和式中的每一项都是0，所以X(k)?0，

k?0,2,4,。

(b) 在按频率抽选FFT算法的第一阶段，我们分别计算X(k)的偶数项和奇数项。如果

X(k)仅有奇次谐波，偶数项样点为0，那我们就只需要计算那些奇数项样点。奇数项样点

为

N?nkn?X(2k?1)??WNx(n)?x(n?)?WN/2 ?2??n?0根据x(n)??x(n?N/2)，上式变为

N?12n?0N?12nnkX(2k?1)????2WNx(n)??WN/2

n这是序列y(n)?2WNx(n)的N/2点DFT。所以，为了求x(n)的N点DFT，将x(n)的前nN/2点乘以2WN，

ny(n)?2WNx(n) (n?0,1,2,,N) 2然后计算y(n)的N/2点DFT。x(n)的N/2点DFT为

X(2k?1)?Y(k) k?0,1,(N?2), 2(N?2)X(2k)?0 k?0,1,,

第五章习题解答

1、用直接I型及直接Ⅱ型结构实现以下系统函数

3?4.2z?1?0.8z?2 H(z)??1?22?0.6z?0.4z1.5?2.1z?1?0.4z?21.5?2.1z?1?0.4z?2解：H(z)? ?1?0.3z?1?0.2z?21?(?0.3z?1?0.2z?2)因为，H(z)?1??anz?nn?1m?0N?bznM?m?Y(z) X(z)所以，a1??0.3，a2?0.2 b0?1.5，b1?2.1，b2?0.4 直接I型及直接Ⅱ型结构图如题1解图(1)、(2)所示

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