长线相交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线； （2）求证：△PBD∽△DCA；

（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．

【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；

（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

（3）由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到DB=DC，根据（2）的相似，得比例，求出所求即可． 【解答】（1）证明：∵圆心O在BC上， ∴BC是圆O的直径， ∴∠BAC=90°， 连接OD，

∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠DAC， ∵∠DOC=2∠DAC，

∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC， ∵PD∥BC， ∴OD⊥PD，

∵OD为圆O的半径， ∴PD是圆O的切线；

25

（2）证明：∵PD∥BC， ∴∠P=∠ABC， ∵∠ABC=∠ADC， ∴∠P=∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°， ∴∠PBD=∠ACD， ∴△PBD∽△DCA；

（3）解：∵△ABC为直角三角形， ∴BC2=AB2+AC2=62+82=100， ∴BC=10，

∵OD垂直平分BC， ∴DB=DC，

∵BC为圆O的直径， ∴∠BDC=90°，

在Rt△DBC中，DB2+DC2=BC2，即2DC2=BC2=100， ∴DC=DB=5

，

∵△PBD∽△DCA， ∴

=

，

=

=

．

则PB=

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．

26

25．（12分）（2017?聊城）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；

（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标； （3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；

（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；

（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解：

（1）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得解得

，

，

27

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6， ∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8， ∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；

（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，

∵OA=OB=6， ∴∠OAB=45°，

∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°， ∴tan∠PAC=

，即

=m，

，

设AC=m，则PC=∴P（

m，6+m），

m）2+2

m+6，解得m=0或

把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（m=

﹣，

经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去， ∴所求的P点坐标为（4﹣

，+）；

（3）当两个动点移动t秒时，则P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），

28