学科教师辅导讲义

教学主任签字： 学员编号： 年 级：高一 课时数：2课时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课日期及时段 教学目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义 2、熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 1、利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来. 2、三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 重点难点 一、诱导公式 诱导公式（一） sin(360?k??)?sin? cos(360?k??)?cos?诱导公式（二） tan(360?k??)?tan? sin(180???)??sin? cos(180???)??cos?诱导公式（三） tan(180???)?tan? sin(??)??sin? cos(??)?cos?tan(??)??tan? 诱导公式（四） sin(?－?)=sin? cos(? －?)=－cos? tan (?－?)=－tan? 诱导公式(五) sin(?2??)?cos? cos(?2??)?sin? 诱导公式（六） sin(?2??)?cos? cos(?2??)??sin? 二、例题剖析 例1．证明：（1）sin(3???)??cos? 23???)??sin? （2）cos(2例2．化简：?11?sin(2???)cos(???)cos(??)cos(??)22.9?cos(???)sin(3???)sin(????)sin(??)22cos(???)?3sin(???) 例3. 已知tan(???)?3,求： 的值。4cos(??)?sin(2???)???)?3,?tan??3. 解：?tan(?2cos??3sin??2?3tan??2?3?3原式? ???7. 4cos??sin?4?tan?4?342sin(???)?3tan(3???)例4. 已知sin(???)?,且sin?cos??0,求的值. 54cos(??3?)

1 小结： ①三角函数的简化过程图： 任意负角的 公式一或三 任意正角的 00~3600间角 00~900间角 查表 公式一或二或四 三角函数 的三角函数 的三角函数 求值 三角函数 ②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了. 二、正弦与余弦函数图像 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数y=sinx的图象 第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角0,???，，,?，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线632向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象. 把角x(x?R)的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象. （2）余弦函数y=cosx的图象 探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？ 根据诱导公式cosx?sin(x??2),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移?单位即得余弦函数y=cosx的图象. 2（课件第三页“平移曲线” ）

2 y1-6?-5?-4?-3?-2?-?o-1y1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1y=sinx?2?3?4?5?6?xy=cosx?2?3?4?5?6?x正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (余弦函数y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是哪几个？(0,1) (?3?,1) (?,0) (,-1) (2?,0) 22?3?,0) (?,-1) (,0) (2?,1) 22只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例： 例1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx，x∈[0，2π]， （2）y=-COSx ●探究2． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 ● 探究３． 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X轴对称。 ●探究４． 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象， 再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。 例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合： 115?(1)sinx?;(2)cosx?,(0?x?). 2 22三、正弦与余弦函数的性质 1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数y?sinx，x?R有sin(2?2??)?sin，能否说是它的周期？ 3636（2）正弦函数y?sinx，x?R是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k?，k?Z且k?0） *（3）若函数f(x)的周期为T，则kT，k?Z也是f(x)的周期吗？为什么？ （是，其原因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)???f(x?kT)） ??2、说明：1?周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； 2?“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)?f (x0)）

3 3?T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期） 从图象上可以看出y?sinx，x?R；y?cosx，x?R的最小正周期为2?； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （f(x)?c没有最小正周期） 2奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。 例如：f(-?1?1??)=,f()= ,即f(-)=f()；?? 由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 323233以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。 3.单调性 从y＝sinx，x∈［－当x∈［－?3?2,2］的图象上可看出： ??，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1. 22?3?当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1. 22结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－［??＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间223??＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 22余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1； 在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 3.有关对称轴 观察正、余弦函数的图形，可知 y=sinx的对称轴为x=k???2 k∈Z y=cosx的对称轴为x=k? k∈Z 练习1。（1）写出函数y?3sin2x的对称轴； （2）y?sin(x??4)的一条对称轴是（ C ） (A) x轴， (B) y轴， (C) 直线x? ?4， (D) 直线x???4 4