第六篇 平面向量与复数 专题6.03 平面向量的数量积及其应用
【考试要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】
1.平面向量数量积的有关概念
→→
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
2(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y1.
x1x2＋y1y2a·b(3)夹角：cos θ＝＝22. 2|a||b|x1＋y1·x2＋y22
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤·x12?y12?x22?y22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
1
【微点提醒】
1.两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是??0，π
2??.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
【教材衍化】
2.(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量.“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为2的弦AB不经过圆心，则AO→·AB→
的值为________.
2
【真题体验】
4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( ) A.4
5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( ) A.13＋62 C.30
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
【考点聚焦】
考点一 平面向量数量积的运算
【例1】 (1)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( ) A.0
B.4
9
C.－
2
17D.－
2
B.25 D.34
B.3
C.2
D.0
→→→→
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则→→BC·OM的值为( )
A.－15
B.－9
C.－6
D.0
3
【规律方法】 1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
π
【训练1】 (1)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则
2→→AE·BC等于( ) A.16
B.12
C.8
D.－4
(2)(2019·皖南八校三模)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________.
考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的垂直
【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m).若a⊥(ma－b)，则m＝________.
→→→→→(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为( ) 22A. 15
【规律方法】
1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其
4
10B. 3
C.6
12D. 7