高考数学真题——坐标系与参数方程 下载本文

?x?1?tcosα,(t为参数). ?y?2?tsinα?(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

x2y2【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为??1.

416当cos??0时,l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?, 当cos??0时,l的直角坐标方程为x?1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程

(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则

t1?t2?0.

又由①得t1?t2??4(2cos??sin?),故2cos??sin??0,于是直线l的斜率21?3cos?k?tan???2.

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为?cos??4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为(2,?3),点B在曲线C2上,求?OAB面积的最大值.

11(1)设P的极坐标为?,?????>0?,M的极坐标为??,????>0?,由题设知

OP=?,OM=?1=4 cos?由OMgOP=16得C2的极坐标方程?=4cos??>0

2因此C2的直角坐标方程为?x?2??y?4?x?0?

2??(2)设点B的极坐标为?B,?????>0?,由题设知

BOA=2,?B=4cos?,于是△OAB面积

S=1OAg?Bgsin?AOB2????4cos?gsin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-?12

3时,S取得最大值2+3

所以△OAB面积的最大值为2+3

在直线坐标系xoy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.

(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(II)直线l的参数方程是{求l的斜率。

【答案】(Ⅰ)??12?cos??11?0;(Ⅱ)?【解析】

试题分析:(I)利用??x?y,x??cos?可得C的极坐标方程;(II)先将直线l的参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得l的斜率.

试题解析:(I)由x??cos?,y??sin?可得C的极坐标方程??12?cos??11?0. (II)在(I)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为???(??R) 由A,B所对应的极径分别为?1,?2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得

22222??=??cos??,,l与C交于A、B两点,(t为参数)∣AB∣=√10,??=??sin??,15. 3?2?12?cos??11?0.

于是?1??2??12cos?,?1?2?11,

|AB|?|?1??2|?(?1??2)2?4?1?2?144cos2??44,

2由|AB|?10得cos??315,tan???, 83所以l的斜率为

1515或?. 33考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式.

?x?2cost,已知动点P,Q都在曲线C:?(t为参数)上,对应参数分别

y?2sint?为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.

(1)求M的轨迹的参数方程;

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的轨迹的参数方程为??x?cos??cos2?,(α为参数,0<α<2π).

y?sin??sin2??(2)M点到坐标原点的距离

d?x2?y2?2?2cos?(0<α<2π).

当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.

?x?cos?,在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为?(?为参数),过点

y?sin???0,?2?且倾斜角为?的直线l与⊙O交于A,B两点.

(1)求?的取值范围;学.科网 (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

22解析】(1)eO的直角坐标方程为x?y?1.

当???时,l与eO交于两点. 2当???时,记tan??k,则l的方程为y?kx?2.l与eO交于两点当且仅当2|?????|?1,解得k??1或k?1,即??(,)或??(,).

42241?k22综上,?的取值范围是(,???). 44?????x?tcos?,(t为参数,???). (2)l的参数方程为?44??y??2?tsin?设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP?tA?tB,且tA,tB满足2t2?22tsin??1?0.

于是tA?tB?22sin?,tP?2sin?.又点P的坐标(x,y)满足

??x?tPcos?, ?y??2?tsin?.??P?2x?sin2?,?????2(?为参数,???). 所以点P的轨迹的参数方程是?44?y??2?2cos2???22

?x?2+t,在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为?(t为参数),直线l2的参数方程

y?kt,??x??2?m,?为?.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (m为参数)my?,?k?(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2=0,M为l3与C的交点,求M的极径. 解:

(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?;消去参数m得l2的普通方程