2018年数学全国1卷
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0. （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
【解析】（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．
222（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与
C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两
个公共点．学#科网
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|k?12?2，故
4k??或k?0．
3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以或k?4时，l1与C2只有一个公共点，l23|k?2|k?12?2，故k?04． 34时，l2与C2没有公共点． 3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?综上，所求C1的方程为y??
2017年数学全国1卷
4|x|?2． 3?x?3cos?,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方
y?sin?,?程为
?x?a?4t,（t为参数）. ?y?1?t,?（1）若a=?1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
x2?y2?1（1）曲线C的普通方程为9.
当a??1时，直线l的普通方程为x?4y?3?0.
21?x????x?4y?3?0?25?2??x?3?24?x2y???y?1?y?0或?25. ?由?9解得?从而C与l的交点坐标为(3,0)，
(?2124,)2525.
（2）直线l的普通方程为x?4y?a?4?0，故C上的点(3cos?,sin?)到l的距离为
d?|3cos??4sin??a?4|17.
a?9a?9?17当a??4时，d的最大值为17.由题设得17，所以a?8； ?a?1?a?1?17当a??4时，d的最大值为17.由题设得17，所以a??16.
综上，a?8或a??16.、
2016年数学全国1卷
?x?acost在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?（t为参数，a＞0）.在
y?1?asint?以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. （I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点
都在C3上，求a.
【答案】（I）圆，?2?2?sin??1?a2?0；（II）1 【解析】
?x?acost试题分析：（Ⅰ）把?化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联
y?1?asint?立极坐标方程进行求解.
试题解析：解：（Ⅰ）消去参数t得到C1的普通方程x?(y?1)?a.
222C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.
将x??cos?,y??sin?代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为
?2?2?sin??1?a2?0.
（Ⅱ）曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
??2?2?sin??1?a2?0, ???4cos?,?若??0，由方程组得16cos可得16cos22??8sin?cos??1?a2?0，由已知tan??2，
??8sin?cos??0，从而1?a2?0，解得a??1（舍去），a?1.
a?1时，极点也为C1,C2的公共点，在C3上.所以a?1.
2013年数学全国1卷
已知曲线C1的参数方程为
(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（??0,0???2?）。
【解析】将
消去参数，化为普通方程
。
，
即：，将代入得，
，
∴
的极坐标方程为
的普通方程为
，
；
（Ⅱ）
由解得或，∴与的交点的极坐标分别为
（），.
2012年数学全国1卷 已知曲线C1的参数方程式??x?2cos?（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
y?3sin??极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程式??2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且
???A,B,C,D依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为?2,?.
?2?（Ⅰ）求点A,B,C,D的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|?|PB|?|PC|?|PD|的取值范围. 【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,2222?3),(2,5?4?11?),(2,),(2,) 636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1)
?x0?2cos?(?为参数) （2）设P(x0,y0)；则?y?3sin??0 t?PA?PB?PC?PD?4x?4y?40 ?56?20sin??[56,76]
?x?2cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数
?y?4sinθ2222222方程为