全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权．”为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量（单位：本）的数据，分成7组[20,30)，
[30,40)，…，[80,90)，并整理得到如图频率分布直方图：
（1）估计其阅读量小于60本的人数；
（2）一只阅读量在[20,30)，[30,40)，[40,50)内的学生人数比为2:3:5．为了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20,40)内的学生中随机选取3人进行调查座谈，用X表示所选学生阅读量在[20,30)内的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组（只需写出结论）．
x2y220.椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，F2，与y轴正半轴交于点B，若
ab?BF1F2为等腰直角三角形，且直线BF1被圆x2?y2?b2所截得的弦长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆交于点A、C，线段AC的中点为M，射线MO与椭圆交于点P，点O为
?PAC的重心，探求?PAC的面积S是否为定值，若是求出这个值，若不是，求S的取值范
围．
21.设函数f(x)?x?ln(x?1?x2)．
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（1）探究函数f(x)的单调性；
（2）若x?0时，恒有f(x)?ax，试求a的取值范围；
3?12n116n14n?1（3）令an?()?ln?()?1?()?（n?N*），试证明：a1?a2?…?an?．
92223??请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程是x?22，曲线C的参数方程为?为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）射线OM：???（其中0???求
?x?2cos?,（?y?2?2sin??5?）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，12|OP|的取值范围．
|OM|23.选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?|2x?1|．
（1）设f(x)?f(x?1)?5的解集为A，求集合A；
（2）已知m为（1）中集合A中的最大整数，且a?b?c?m（其中a，b，c为正实数），求证：
1?a1?b1?c???8． abc炎德?英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（理科）答案
一、选择题
1-5:BDADD 6-10:BBCBC 11、12：AA 二、填空题
13.?11 14.3 15.24?43 16.??1?2,1?2?
??三、解答题
17.解：（1）f(x)?sin(??2x)?3sin2x?cos2x?3sin2x?2sin(2x?)，
26?所以f(x)的最小正周期是?．
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（2）因为0?x??2??7?所以?2x??，
666当x?，所以0?2x??，
?6时，f(x)max?2；当x??2时，f(x)min??1．
18.（1）证明：∵AD//BC，AB?BC，BC?AB?2，AD?3，
222∴OC?5，OD?10，CD?5，OD?OC?DC，
∴OC?CD，∴CD?平面POC， ∴CD?PO，
∵PA?PB?AB，O为AB中点， ∴PO?AB，∴PO?底面ABCD， ∴平面PAB?平面ABCD．
（2）如图建立空间直角坐标系O?xyz，则P(0,0,3)，D(?1,3,0)，C(1,2,0)， ∴OP?(0,0,3)，OD?(?1,3,0)，CP?(?1,?2,3)，CD?(?2,1,0)，
设平面OPD的一个法向量为m?(x1,y1,z1)，平面PCD的法向量为n?(x2,y2,z2)，则
???OP?m?0,?3z1?0,由?可得?取y1?1，得x1?3，z1?0，即m?(3,1,0)，
????x1?3y1?0,?OD?m?0,???CP?n?0,??x?2y2?3z2?0,由?可得?2取x2?3，得y2?23，z2?5，即
????2x2?y2?0,?CD?n?0,n?(3,23,5)，
∴cos?m,n??m?n533． ??4|m|?|n|10?403． 4故二面角O?PD?C的余弦值为
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19.解：（1）100?100?10?(0.04?0.02?2)?20（人）． （2）由已知条件可知：
[20,50)内的人数为：100?100?10(0.04?0.02?0.02?0.01)?10，
[20,30)内的人数为2人，[30,40)内的人数为3人，[40,50)内的人数为5人．
X的所有可能取值为0，1,2，
30112C3C2C32C2C3C2133，，， P(X?0)??P(X?1)??P(X?2)??333C510C55C510所以X的分布列为
X 0 1 2 P E(X)?0?1336?1??2??． 1051051 103 53 1020.解：（1）由?BF1F2为等腰直角三角形可得b?c，直线BF1：y?x?b被圆x?y?b222x2y2??1． 所截得的弦长为2，所以a?2，b?c?2，所以椭圆的方程为42（2）若直线l的斜率不存在，则S?136?6?3?． 22若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
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