夜来风雨声∵f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(x)＝－1

2的所有x＝4n－1(n∈Z)．

令0≤4n－1≤2 014，则12 015

4≤n≤4

.

又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，

∴在[0,2 014]上共有503个x使f(x)＝－1

2

.

x13. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝2

4x＋1. (1)求f(1)和f(－1)的值； (2)求f(x)在[－1，1]上的解析式.

?2

x4x＋1

，x∈（0，1），【答案】(1) f(1)＝0，f(－1)＝0. (2) f(x)＝??x?－2 4x，x∈（－1，0），?＋10，x∈{－1，0，1}.

14.已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)求证f(x)是奇函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

5

夜来风雨声【答案】(1) 详见解析，(2) f(x)max＝6，f(x)min＝－6. 【解析】(1)证明 令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，

则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．

(2)解 任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.

所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.

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