(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.3 函数奇偶性与周期(练) 下载本文

夜来风雨声∵f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(x)=-1

2的所有x=4n-1(n∈Z).

令0≤4n-1≤2 014,则12 015

4≤n≤4

.

又∵n∈Z,∴1≤n≤503(n∈Z),

∴在[0,2 014]上共有503个x使f(x)=-1

2

.

x13. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=2

4x+1. (1)求f(1)和f(-1)的值; (2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.

?2

x4x+1

,x∈(0,1),【答案】(1) f(1)=0,f(-1)=0. (2) f(x)=??x?-2 4x,x∈(-1,0),?+10,x∈{-1,0,1}.

14.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2. (1)求证f(x)是奇函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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夜来风雨声【答案】(1) 详见解析,(2) f(x)max=6,f(x)min=-6. 【解析】(1)证明 令x=y=0,知f(0)=0;再令y=-x,

则f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)为奇函数.

(2)解 任取x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,所以f(x)为减函数.而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.

所以f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6.

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