浙江工业大学第十一届数学建模竞赛试题

（请先阅读 “浙江工业大学数学建模竞赛规则”）

A．银行服务系统评价

排队叫号机已经融入到了银行服务中，但是最近在广州出现的银行不使用排队机进行叫号却让人感觉非常奇怪，以至于有时排队长达10米。到底是排队的效率高还是叫号的效率高呢？这是一个值得众多商家和用户思考的一个问题，不要我们使用了排队系统，反而降低了效率，那就适得其反了。

银行方面对此回应是排队比叫号效率高可避免“飞号”现象，但来办业务的众多老人都表示长久站立有些吃不消。某银行支行人士告诉记者，银行采用“叫号”服务是想减少储户排队之苦，还可避免储户信息外泄等。但是，在实际操作中他们发现，不少市民在拿到号后去买菜、逛商场，造成“飞号”现象频繁发生，甚至引起其他客户不满和不必要的纠纷；“有的一去不回，工作人员连叫数次无人应答；有的在错过叫号后又要求插队，常引起不少纷争。”

为了评价银行叫号系统与排队系统的服务效率，我们对银行的顾客到达情况进行了统计，统计了某银行大型网点约4个月(18个完整周)全部工作日各时段顾客的到达总人数和周内各天到达总人数分布(见表1、2所示)。

注：该银行的营业时间为8:00am~6:00pm

表1 全部工作日各时间段顾客的到达人数分布

时间 人数 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 1608 5876 7202 5592 4313 3828 7321 7134 4128 2354 表2 全部工作日到达总人数周内分布

日期 人数 周一 9183 周二 8327 周三 8232 周四 7067 周五 8886 周六 3866 周日 3795 针对以上情形，请各参赛队完成以下任务：

1) 从顾客满意率、银行成本、服务内容等出发，建立模型分析此网点应该

如何设置服务窗口开放情况（可另行收集或合理假设需要的数据）。 2) 分析两种系统的服务效率（叫号服务系统、排队服务系统），你是否有更

加合理的服务系统可以建议。

B．无线传感网络设计问题

大气污染所引起的地球气候异常，导致地震、旱灾等自然灾害频频发生，给人民的生命财产造成巨大损失。因此，不少国家政府都在研究如何有效监测自然灾害的措施。在容易出现自然灾害的重点地区放置高科技的监视装置，建立无线传感网络，使人们能准确而及时地掌握险情的发展情况，为有效地抢先救灾创造有利条件。科技的迅速发展使人们可以制造不太昂贵且具有通讯功能的监视装置。放置在同一监视区域内的这种监视装置（以下简称为节点）构成一个无线传感网络。

如果监视区域的任意一点都处于放置在该区域内某一节点的监视范围内，则称节点能覆盖该监视区域。研究能确保有效覆盖且数量最少的节点放置问题显然具有重要意义。

区域A区域B无线传感网络节点

图1 无线传感网络覆盖示意图

图1中，叉形表示一个无线传感网络节点，虚线的圆形区域表示该节点的覆盖范围。可见，该无线传感网络节点完全覆盖了区域B，部分覆盖了区域A。

网络节点间的通信设计问题是无线传感器网络设计的重要问题之一。如前所述，每个节点都有一定的覆盖范围，节点可以与覆盖范围内的节点进行通信。但是当节点需要与不在其覆盖范围内的节点通信时，需要其它节点转发才可以进行通信。

节点A节点B节点C

图2 无线传感网络节点通信示意图

图2所示，节点C不在节点A的覆盖范围之内，而节点B在A与C的覆盖范围之内，因此A可以将数据先传给B，再通过B传给C。行成一个A－B－C的通路。

请各参赛队查找相关资料，建立数学模型解决以下问题：

1、在一个监视区域为边长b=100(长度单位)的正方形中，每个节点的覆盖半径均为r=10(长度单位)。在设计传感网络时，需要知道对给定监视区域在一定的覆盖保证下应放置节点的最少数量。对于上述给定的监视区域及覆盖半径，确定至少需要放置多少个节点，才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%以上？ 2、在1所给的条件下，已知在该监视区域内放置了120个节点，它们位置的横、纵坐标如表1所示。请设计一种节点间的通信模型，给出任意10组两节点之间的通信通路，比如节点1与节点90如何通信等。

表1 120个节点的坐标表

节点标号 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Y 节点标号 X 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 6 85 Y 节点标号 X 33 9 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 Y 节点标号 X 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 Y 57 58 95 74 34 12 31 68 52 67 30 4 15 75 75 52 75 30 65 28 55 63 41 61 36 20 72 24 16 10 85 49 86 90 75 90 32 20 5 92 16 35 25 66 72 4 68 33 32 95 47 71 50 43 56 43 56 25 47 25 80 64 10 96 12 33 63 70 39 9 81 89 43 14 17 25 80 55 45 61 92 40 78 22 89 45 51 51 40 90 65 49 76 7 30 98 74 44 41 25 39 21 95 51 72 76 79 8 78 44 10 80 8 89 15 95 45 90 70 82 90 78 84 78 20 70 40 71 55 70 5 95 73 18 22 28 17 80 50 10 55 20 87 22 64 37 22 13 69 43 80 83 76 13 88 94 25 95 62 45 70 70 45 42 35 9 75 41 35 91 56 30 27 92 92 90 25 58 44 52 5 90 80 5 17 33 25 74 25 26 27 28 29 30 61 35 37 78 48 46 81 31 23 90 35 66 55 56 57 58 59 60 58 47 95 2 87 72 68 88 30 28 9 9 85 86 87 88 89 90 26 34 28 99 25 8 29 63 40 83 4 11 115 116 117 118 119 120 72 98 55 79 7 2 85 20 35 50 10 68

3、对用于监视旱情的遥测遥感网，由于地处边远地区，每个节点都只能以电池为能源，电池用尽节点即报废。实际情况下，节点的覆盖范围也会随着节点能量发生变化。针对表1的数据，从节能角度考虑设计，改进问题2中的通信模型。给出任意10组两节点之间的通信通路，比如节点1与节点90如何通信等。

C、温室中的绿色生态臭氧病虫害防治

2009年12月，哥本哈根国际气候大会在丹麦举行之后，温室效应再次成为国际社会的热点。如何有效地利用温室效应来造福人类，减少其对人类的负面影响成为全社会的聚焦点。

臭氧对植物生长具有保护与破坏双重影响，其中臭氧浓度与作用时间是关键因素，臭氧在温室中的利用属于摸索探究阶段。

假设农药锐劲特的价格为10万元/吨，锐劲特使用量10mg/kg-1水稻；肥料100元/亩；水稻种子的购买价格为5.60元/公斤，每亩土地需要水稻种子为2公斤；水稻自然产量为800公斤/亩，水稻生长自然周期为5个月；水稻出售价格为2.28元/公斤。

根据背景材料和数据，回答以下问题：

1.在自然条件下，建立病虫害与生长作物之间相互影响的数学模型；以中华稻蝗和稻纵卷叶螟两种病虫为例，分析其对水稻影响的综合作用并进行模型求解和分析。

2.在杀虫剂作用下，建立生长作物、病虫害和杀虫剂之间作用的数学模型；以水稻为例，给出分别以水稻的产量和水稻利润为目标的模型和农药锐劲特使用方案。

3.受绿色食品与生态种植理念的影响，在温室中引入O3型杀虫剂。建立O3对温室植物与病虫害作用的数学模型，并建立效用评价函数。需要考虑O3浓度、合适的使用时间与频率。

4.通过分析臭氧在温室里扩散速度与扩散规律，设计O3在温室中的扩散方案。可以考虑利用压力风扇、管道等辅助设备。假设温室长50 m、宽11 m、高3.5 m，通过数值模拟给出臭氧的动态分布图，建立评价模型说明扩散方案的优劣。

附件1 背景材料：

通过温室来栽培作物已经是一种很好的利用温室的途径。随着全球温度的升高，病虫害也会越来越猖狂。以往的农药解决病虫害的办法也使得农药残留对食品安全问题造成了威胁。如何开辟新型的病虫害防治技术已经越来越重要。

对比以往的杀虫灭菌措施，我们更关注于绿色环保臭氧杀菌技术，利用臭氧化学性质活泼，O3分解出一个单位原子氧，O3的杀菌作用主要来自于这个单原子氧的氧化作用。单原子氧与引起温室植物病害的细菌、 真菌及病毒接触后，将其组织蛋白、氨基酸、硫醇类或低分子量肽以及未饱合脂肪酸氧化，引起这类微生物、病毒的活性降低甚至死亡。细胞膜是臭氧氧化作用的主要部位，臭氧作用于细胞膜上，形成的游离根——超氧负离子自由基O2-能使细胞膜氧化破裂， 失去物质交换能力和酶失活，同时O2-又具有使基因改变的作用，使得生物体不能正常的生活。 臭氧对几乎所有的温室气传病害的病原菌具有防治杀灭作用，而对多数土传病害的防治也有效。O3是公认的绿色杀毒剂，应用于大棚温室生产具有广谱高效，无污染，使用成本低、经济效益高，操作方便等优点。但必须注意臭氧的危害：O3进入叶肉时，气孔及叶肉组织就增大对O3扩散的阻抗作用，这同时也阻抗了CO 2的进入和扩散； O3本身有破坏叶绿体的作用并阻碍光合反应中的部分电子传递系统；破坏叶肉组织，O3主要是破坏叶肉的栅状组织细胞； O3损害细胞的渗透性，使细胞液大量渗出，部分植物还有乙烯逸出，使植物自身早期老化等，总之是阻碍和破坏植物的光合作用、生理机能、使植物的干物质产量降低。植物受O 3损害的程度主要取决于臭氧浓度及作用时间。臭氧浓度一般在0.08x10-6 g/cm3以上且作用时间超过l小时以上，大多数的植物才会产生可视与不可视危害。在高浓度臭氧持续作用时间相同的条件下，由于植物生理、生态、环境及栽培条件不同，其受害程度也有很大差异。既使同一植物品种，在不同生育期内，在一天的不同时间内，其对臭氧的敏感程度都有明显变化，甚至同一个体的不同叶片，对臭氧的感受也有明显差异。一般来讲当臭氧浓度低于0.05×10-6 g/cm3且作用时间小于30分钟时臭氧对大多数植物的生长均有保护作用。然而，由于蔬菜具有特殊性，臭氧产生浓度成为其应用前景之关键。空间臭氧浓度过小，达不到迅速杀菌消毒的目的，只能起到清新空气的作用，而浓度大，对蔬菜造成危害。为了确定臭氧在温室中生产无公害蔬菜的理想浓度范围，根据查阅资料结果，

臭氧发生器应选用对密闭的空气达到5 mg/ m3~10 mg/m3的浓度范围内。此范围不会对蔬菜造成伤害。只是在臭氧浓度>30 mg/m3时才可能造成某些蔬菜叶面烧灼。 附件2 数据

表1中华稻蝗和水稻作用的数据 密度（头/m2）

0 3 10 20 30 40

穗花被害率（%）

—

0.273 2.260 2.550 2.920 3.950

结实率（%）

94.4 93.2 92.1 91.5 89.9 87.9

千粒重（g）

21.37 20.60 20.60 20.50 20.60 20.13

减产率（%）

— 2.4 12.9 16.3 20.1 26.8

表2 稻纵卷叶螟与水稻作用的数据 密度（头/m2）

3.75 7.50 11.25 15.00 18.75 30.00 37.50 56.25 75.00 112.50

产量损失率（%）

0.73 1.11 2.2 3.37 5.05 6.78 7.16 9.39 14.11 20.09

卷叶率（%）

0.76 1.11 2.22 3.54 4.72 6.73 7.63 14.82 14.93 20.40

空壳率（%）

14.22 14.43 15.34 15.95 16.87 17.10 17.21 20.59 23.19 25.16

表3 农药锐劲特在水稻中的残留量数据 时间/d

植株中残留量/mg?kg

?11 8.26

3 6.89

6 4.92

10 1.84

15 0.197

25 0.066

表4 臭氧分解实验速率常数与温度关系 温度T（oC） 20 臭氧分解速度（mg/min）

-1

30 0.0111

40 0.0145

50 0.0222

60 0.0295

70 80

0.0081 0.0414 0.0603

表5 臭氧浓度与真菌作用之间的实验数据 t（小时）

0.5 93

3

1.5 89 0.40

2.5 64 0.75

3.5 35 1.00

4.5 30 1.25

5.5 25 1.50

6.5 18 1.80

7.5 10 2.10

8.5 0 2.25

9.5 0 2.65

10.5 0 2.85

S（%）

C(O3)（mg/m）

0.15

注：t为臭氧持续作用时间，S为病虫害经臭氧处理时的剩余数量比例，C(O3)为臭氧喷嘴出口处检测到的臭氧浓度。