xy3
3、椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x
ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设11
直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
kk1kk2
xyb
解析：(1)由于c＝a－b，将x＝－c代入椭圆方程2＋2＝1，得y＝±.
aba
2
2
2
2
2
2
22
2bc32
由题意知＝1，即a＝2b. 又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
aa2x2
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4
(2)设P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－3，0)，F2(3，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x－(x0＋3)y＋3y0＝0， lPF2：y0x－(x0－3)y－3y0＝0. 由题意知|my0＋3y0|y＋（x0＋3）
20
2
2
＝2
|my0－3y0|y＋（x0－3）
所以
2
0
2
. |m＋3|
|m－3|
x02
由于点P在椭圆上，所以＋y0＝1.
4
2
[来源:学科网ZXXK]?3??x0＋2??2?
3－m
＝2
?3?
?x0－2??2?
2
.
因为－3 m＋3 333 ，所以m＝x0.因此－ 42233 x0＋22－x022 ＝ (3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)． x??＋y2＝1， 联立得?4 ??y－y0＝k（x－x0）， 整理得(1＋4k)x＋8(ky0－kx0)x＋4(y0－2kx0y0＋kx0－1)＝0. x02 由题意Δ＝0，即(4－x)k＋2x0y0k＋1－y＝0. 又＋y0＝1， 4 20 2 20 2 2 2 2 2 22 2 x0222 所以16y0k＋8x0y0k＋x0＝0，故k＝－.4y0 [来源:Zxxk.Com]11x0＋3x0－32x0 由(2)知＋＝＋＝， k1k2y0y0y0 1111111?4y0?2x0 所以＋＝(＋)＝?－?·＝－8，因此＋为定值，这个定值为－8. kk1kk2kk1k2?x0?y0kk1kk2 x2y2 4、已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1和F2，由四个点M(－a，b)、N(a， abb)、F2和F1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形． (1)求椭圆的方程； (2)过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求△F2AB面积的最大值． 解 (1)由条件，得b＝3，且 2 2 2a＋2c ×3＝33， 2 x2y2 所以a＋c＝3.又a－c＝3，解得a＝2，c＝1. 所以椭圆的方程＋＝1. 43(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x＝my－1，直线与椭圆交于 xy??4＋3＝1， A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程?消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 因 ??x＝my－1，为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交． ∴y1＋y2＝ 6m91 ，y1y2＝－2.S△F2AB＝|F1F2||y1－y2|＝|y1－y2| 223m＋43m＋4 22 2 2 ＝?y1＋y2?－4y1y2＝12m2＋1 ＝4 ?3m2＋4?2m2＋1 ?m＋1＋1?2 3?? ＝4 ， 21 m＋1＋＋ 39?m2＋1? 2 1 111 0，?时，函数单调递减，t∈?，＋∞?函数单调递令t＝m2＋1≥1，设y＝t＋，易知t∈??3??3?9t增，所以当t＝m2＋1＝1，即m＝0时，ymin＝ 10 . S△F2AB取最大值3. 9 x2y23 5椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3. ab2 (1)求椭圆C的方程； (2)如图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值． x2y2 6、 (2013·新课标全国Ⅱ卷)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)右焦点的 ab1 直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为. (1)求M的 2方程； (2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值． x22 7、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有两个不 2同的交点P和Q. (1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常→→→ 数k，使得向量OP＋OQ与AB垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． x2 解 (1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得＋(kx＋2)2＝1，整理 212?2得??2＋k?x＋22kx＋1＝0.① 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中 12?222 ＋k＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围是?－∞，－?∪Δ＝8k2－4??2?222??→→ ?2，＋∞?. (2)设P(x，y)，Q(x，y)，则OP＋OQ＝(x＋x，y＋y) 由方程①得， 11221212 ?2?－42k242kx1＋x2＝－， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝＋22. 1＋2k21＋2k2→→→42k42k2 ∵(OP＋OQ)⊥AB，∴(x1＋x2)·(－2)＋y1＋y2＝0，即：－·(－2)－＋22＝0. 1＋2k21＋2k2→→→221解得k＝－，由(1)知k＞，与此相矛盾，所以不存在常数k使OP＋OQ与AB垂直. 42 x2y2 8、(2013·四川卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭 ab41? 圆C经过点P??3，3?. (1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且解 (1)由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝ 211 ，求点Q的轨迹方程． 2＝2＋|AQ||AM||AN|2?4＋1?2＋?1?2＋?3??3??4－1?2＋?1?2＝22. ?3??3? c12 所以a＝2. 又由已知得，c＝1，所以椭圆C的离心率e＝＝＝. a22x22 (2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y＝1. 设点Q的坐标为(x，y)． 2 (i)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为 ?0，2－35?. (ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2. 5?? 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，则 222222 |AM|2＝(1＋k2)x1，|AN|2＝(1＋k2)x22. 又|AQ|＝x＋(y－2)＝(1＋k)x. 由 211 ，得 2＝2＋|AQ||AM||AN|22 211211?x1＋x2?－2x1x2 ＝.① 222＋2， 即2＝2＋2＝xx1x2x1x2?1＋k2?x2?1＋k2?x1?1＋k2?x2 x22 将y＝kx＋2代入＋y＝1中，得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.② 2 －8k36 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞. 由②可知，x1＋x2＝2，x1x2＝2， 22k＋12k＋1代入①中并化简，得x2＝ 18 .③ 10k2－3 y－2 因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18. x336635? 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈?－，0?∪?0，?. 又?0，2－满足10(y－2)2 222?5??2???－3x2＝18，故x∈?－ ? 66? . ， 22? 由题意知点Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1， 又由10(y－2)2＝18＋3x2有 99?135? ，，且－1≤y≤1，则y∈?，2－(y－2)2∈?. ?54?5??2所以点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈?－ ? 66?135? ，y∈?，2－. ，22?5??2 x2y23 9、椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，?连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．?设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明11＋为定值，?并求出这个定值． kk1kk2[审题] 一审条件?：可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程 二审条件?：联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0 111?11 ＋，把k与＋均用x0，y0表示后可消去． 三审结论?：变为?k?k1k2?k1k2 33x22 －，?(过程略)． 解 (1)椭圆C的方程为＋y＝1(过程略)．(2)m的取值范围是??22?4x??4＋y2＝1， (3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．联立?整理得 ??y－y0＝k?x－x0?， 2222 (1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y20－2kx0y0＋kx0－1)＝0.由题意，得Δ＝0，即(4－x0)k＋2x0y0k 2 ＋1－y20＝0. x2x002222 又＋y2. 0＝1，所以16y0k＋8x0y0k＋x0＝0， 即(4y0k＋x0)＝0.故k＝－44y0 11x0＋3x0－32x0由椭圆C可得F1(－3，0)，F2(3，0)，又P(x0，y0)，所以＋＝＋＝， k1k2y0y0y011111??4y0?2x011 ＋＝－所以＋＝?·＝－8.因此＋为定值，这个定值为－8. kk1kk2k?k1k2??x0?y0kk1kk2