数值分析练习题 付敏编

第七章 线性方程组的迭代解法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。 1证明：迭代格式x性判断）

2若用雅可比迭代法求解方程组?(k?1)?Bx(k)?0.90??1??f收敛，其中B???,f??2?。（迭代法收敛

0.30.8?????a11x1?a12x2?b1(a11a22?0)迭代收敛的充要条件是

?a21x1?a22x2?b2a12a21?1。（雅可比迭代法的收敛性）

a11a223 用雅可比、高斯-塞德尔迭代法，求解方程组

?x1?2x2?3 ??3x1?2x2?4是否收敛？为什么？若将方程组改变成为

?3x1?2x2?4 ?x?2x?32?1再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？（雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性）

?410???4证明解线性方程组Ax?b的雅可比迭代收敛，其中A?121。（雅可比迭代收敛????011??性判断）

5已知方程组Ax?b，其中A???12??1?， b?????0.31??2?(1) 试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 (2) 若有迭代公式x(k?1)试确定?的取值范围，使该迭代公式收敛。?x(k)??(Ax(k)?b)，

（雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论） 6给出矩阵A????1a??，（为实数），试分别求出的取值范围： ??2a1?(1) 使得用雅可比迭代法解方程组Ax?b时收敛；

(2) 使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ax?b时收敛。（雅可比、高斯-塞德尔迭代法及

9

数值分析练习题 付敏编

收敛性讨论） 7设A???21??1?， b?????12??2?(1) 设x(k)是由雅可比迭代求解方程组Ax?b所产生的迭代向量，且x(0)?(1,1)T，试写出计算x(k)的精确表达式。

(2) 设x*是Ax?b的精确解，写出误差x(k)?x*?的精确表达式。

(3) 如构造如下的迭代公式x(k?1)?x(k)??(Ax(k)?b)解方程组Ax?b，试确定?的范围，使迭代收敛。（雅可比迭代及其收敛判断）

?x1?2x2?2x3?1?8对于给定的线性方程组?x1?x2?x3?2

?2x?2x?x?323?1（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

（2）对收敛的方法，取初值x(0)?(1,0,0)T，迭代两次，求出x(1),x(2),x(3)。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较） 9 证明对称矩阵

?1????

A???1???????1??当?111???1为正定矩阵，且只有当????时，用雅可比迭代法求解方程组Ax?b222才收敛。（雅可比迭代法的收敛性）

10

数值分析练习题 付敏编

第八章 线性方程组的直接解法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。

4??x1??0??23????x???2?（高斯消去法的应用）

91用高斯消去法解方程组11???2???。

??12?6????x3????1???2x1?x2?x3?0?2用LU分解法求解线性方程组?x1?x2?x3?3。（LU分解法的应用）

?x?x?2x?123?1?2?11???3设A?4?12，求A的LU分解。（LU分解法的应用） ????2?23???310???1?????4试用“追赶法”解方程组Ax?b，其中：A?241，b?7（追赶法的应用） ???????025???9???12???5设A?1?1，求cond(A)2（条件数的计算） ???1??1?6求证：I?1，A22?1?1（范数的性质） A7求证：A?A1?A?。（范数的性质）

100???2?1?2?10?，求A，A，A和cond(A)2。8对矩阵A??（范数，条件数2?1?01?21???001?2??的计算）

n?n9方程组Ax?b，其中A?R，A是对称的且非奇异。设A有误差?A，则原方程组变

化为(A??A)(x??x)?b，其中?x为解的误差向量，试证明：

?x22x??x??1?A2，其

?nA2中?1和?n分别为A的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）

10证明：若A?(aij)n?n为严格对角占优矩阵，则A非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）

11