数值分析练习题 付敏编

第四章 数值积分

姓名 学号 班级

习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式

?h?hf(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能

高。（代数精度的应用和计算） 2 求积公式

?10f(x)dx?A0f(0)?A1f(1)?B0f?(0)，试确定系数A0,A1及B0，使该求积

公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 3数值积分公式

?303f(x)dx?[f(1)?f(2)]，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式

2b的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） 4如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分几何意义。（梯形求积） 5用n?4的复化梯形公式计算积分

?af(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其

?211dx，并估计误差。（复化梯形求积） x6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算

?1?1f(x)dx，若有常数M使 |f(4)|?M，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复

化辛甫生公式）

17已知高斯求积公式

?1?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分，用复

1化高斯求积法求定积分

?0xdx的近似值。（高斯公式）

8 试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

?2?2f(x)dx?Af(?a)?Bf(0)?Cf(a)有尽

可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）

9设?Pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求P2(x)。

（2）构造如下的高斯型求积公式

?10xf(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)。（高斯求积）

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第五章 非线性方程求根

姓名 学号 班级

习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。

1用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差小于0.05。（二分法）

2说明方程x2?lnx?4?0 在区间[1，2]内有惟一根x，并选用适当的迭代法求x（精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 3设有解方程12?3x?2cosx?0的迭代法xn?1?4?n???2**2cosxn (1)证明?x0?R均有3*limxn?x*（x为方程的根）。(2)此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。 (3) 取x0?4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10，列出各次迭代值。（和收敛性讨论） 4设x???(x?)，max??(x)???1，试证明：由xn?1??(xn)n?0,1,? ，得到的序列?xn?收敛于x。（收敛性证明）

?*5 设方程3?3x?2sinx?0在[0,1]内的根为x，若采用迭代公式xn?1?1?**?32sinxn，试3证明：?x0?R均有limxn?x(x为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

n??（迭代法和收敛性讨论）

6 方程x3?x2?1?0在x0?1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：

(1) x?1?11，对应迭代格式： x?1?n?122xxn232(2) x?1?x，对应迭代格式：xn?1?31?xn

(3) x?21，对应迭代格式：xn?1?x?11 xn?1讨论这些迭代格式在x0?1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出x0?1.5附近的根到4位有效数字。（收敛速度的计算和比较） 7设 f(x)?(x3?a)2

(1) 写出解 f(x)?0的牛顿迭代格式；

(2) 证明此迭代格式是线性收敛的。（牛顿迭代的构造与收敛速度）

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8 设计一个计算

1a的牛顿迭代法，且不用除法（其中a?0）。（牛顿迭代法）

9 用牛顿法求115的近似值，取x0?10或11为初始值，计算过程保留4位小数。（牛顿迭代的构造）

10设x是非线性方程f(x)?0的m重根，试证明：迭代法

*xn?1?xn?mf(xn)

f'(xn)具有至少2阶的收敛速度。（收敛速度证明）

11设x是非线性方程f(x)?0的m重根，证明：用牛顿迭代法求x只是线性收敛。（收敛速度证明）

12设?(a)?a，?(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且?'(a)??????(p?1)(a)?0，

**?(p)(a)?0，试证：迭代法xn?1??(xn)在a附近是p阶收敛的。 （收敛速度证明）

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第六章 常微分方程数值解

姓名 学号 班级

习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。

1 用改进的欧拉公式，求以下微分方程

2x???y?y?y??y(0)?1?x?[0,1]

的数值解（取步长h?0.2），并与精确解作比较。（改进的尤拉公式的应用） 2用四阶龙格－库塔法求解初值问题??y??y?1，取h?0.2, 求x?0.2,0.4时的数值解.

?y(0)?0要求写出由h,xn,yn直接计算yn?1的迭代公式，计算过程保留3位小数。（龙格－库塔方法的应用）

?y??y?0?2?h?3 用梯形方法解初值问题?，证明其近似解为yn???，并证明当h?0y(0)?12?h???时，它收敛于原初值问题的准确解y?e?x。

n?y???10y4对于初值问题?，证明当h?0.2时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公

y(0)?1?式的稳定性讨论） 5证明梯形公式yn?1?yn?h[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?1)]无条件稳定。（稳定性讨论） 2?y??f(x,y)6设有常微分方程的初值问题?，试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算

y(x)?y00?公式yn?1??(yn?yn?1)?h(?0fn??1fn?1)，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算） 7已知初值问题

?y??2x? ?y(0)?0?y(0.1)?0.01?取步长h?0.1，利用阿当姆斯公式yn?1?yn?h(3fn?fn?1)，求此微分方程在[0，10]2上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）

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