(3)写出圆形磁场区域磁感应强度B0的大小及磁场变化周期T各应满足的表达式。
丙
解析? (1)电子在0≤x≤L磁场区域做圆周运动,出磁场后做直线运动,其运动轨迹如图
丙所示,由几何关系可得R=2L
yP=R-Rcos 30°+Ltan 30°=(2?3√3)L。
(2)在加速电场中,由动能定理有
2
eU=2m??02
解得v0=√
2??????
1
由洛伦兹力提供向心力可得
0
ev0B=m?? ??
2
联立解得B=√2??????。 2????
????
(3)电子在圆形磁场中做圆周运动的轨迹半径 R'=????0,假设在磁场变化的半个周期内,粒
0
子的偏转角为60°,根据几何关系,在磁场变化的半个周期内,粒子在x轴方向上的位移恰好等于R',粒子能到达N点且速度符合要求的空间条件是2nR'=2L
解得B0=??√2??????????
(n=1,2,3,…)
1
粒子在磁场变化的半个周期内恰好转过6个圆周,同时,当电子在MN间运动的时间是磁场变化周期的整数倍时,粒子能到达N点且速度满足题设要求,则有6T0=2,又因为T0=????,则
0
1??
2π??
T的表达式为T=3??2π????√2??????(n=1,2,3,…)。
丁
答案? (1)(2?3√3)L (2)
(3)B0=??√2??????????
2
√2?????? 2????
(n=1,2,3,…)
T=3??
2π????√2??????(n=1,2,3,…)
《物理中常用的数学特殊方法》专题训练
1.(微元法)如图甲所示,一对间距l=20 cm的平行光滑导轨放在水平面上,导轨的左端接R=1 Ω的电阻,导轨上垂直放置一导体杆,整个装置处在磁感应强度大小B=0.5 T的匀强磁场中,磁场方向垂直导轨平面向下。杆在沿导轨方向的拉力F作用下做初速度为零的匀加速运动。测得力F与时间t的关系如图乙所示。杆及两导轨的电阻均可忽略不计,杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触,则杆的加速度大小和质量分别为( )。
A.20 m/s2,0.5 kg B.20 m/s2,0.1 kg C.10 m/s2,0.5 kg D.10 m/s2,0.1 kg
解析? 导体杆在轨道上做初速度为零的匀加速直线运动,用v表示瞬时速度,t表示时
间,则杆切割磁感线产生的感应电动势E=Blv=Blat,闭合回路中的感应电流I=??,由安培力公
??
式和牛顿第二定律得F-BIl=ma,联立解得F=ma+??2??2at??
。在图乙中图线上取两点,t1=0,F1=1
N;t2=10 s,F2=2 N。代入上式解得a=10 m/s2,m=0.1 kg,D项正确。
答案? D
2.(2018·广东三模)(特殊值法)(多选)如图所示,电源电动势为E,内阻r不为零,且始终小于外电路的总电阻,当滑动变阻器R的滑片P位于中点时,A、B、C三个小灯泡的亮度相同,则( )。 A.当滑片P向左移动时,A、C灯变亮,B灯变暗 B.当滑片P向左移动时,B、C灯变亮,A灯变暗 C.当滑片P向左移动时,电源的效率减小 D.当滑片P向左移动时,电源的输出功率减小
解析? 由图知,滑动变阻器R与A灯并联后与B灯串联,最后与C灯并联。当滑片P向左移动时,滑动变阻器接入电路的电阻增大,外电路总电阻增大,总电流减小,路端电压增大,C灯变亮。流过B灯的电流IB=I-IC,I减小,IC增大,则IB减小,B灯变暗。A灯的电压
UA=U-UB,U增大,UB减小,则UA增大,A灯变亮。所以A、C两灯变亮,B灯变暗,A项正确,B
项错误。电源的效率η=????=??
????
??
外
外
=??,当滑片P向左移动时,可知外电路总电阻R增大,效率+r1+
??外
1
η增大,C项错误。当外电阻等于电源的内阻时,电源的输出功率最大,已知r小于外电路的总
电阻,当滑片P向左移动时,外电路总电阻增大,电源的输出功率随电阻增大而减小,故D项正确。
答案? AD
3.(配方法和极值法)(多选)在光滑的水平桌面上有体积相等、质量分别为M=0.6 kg,m=0.2 kg的两个小球P、Q,P、Q中间夹着一个被压缩的具有弹性势能Ep=10.8 J的轻弹簧(弹簧
与两个球不相连),P、Q两球原来处于静止状态。现突然释放弹簧,球Q脱离弹簧后滑向与水平面相切、半径R=0.425 m的竖直放置的光滑半圆形轨道,如图所示。(g取10 m/s2)( )。
A.小球P离开轻弹簧时获得的速度为9 m/s
B.小球Q从轨道底端A运动到顶端B的过程中所受合力的冲量大小为3.4 N·s
C.若半圆轨道半径可调,且小球Q能从B点飞出,则小球Q飞出后落在水平桌面上的水平距离随轨道半径的增大而减小
D.弹簧伸长过程中,弹力对Q的冲量大小为1.8 N·s
解析? 弹簧弹开P和Q的过程中满足机械能守恒和动量守恒,由此可得
MvP=mvQ,2M????2+2m????2=Ep,联立解得vP=3 m/s,vQ=9 m/s,A项错误;弹簧弹开P和Q过
程中,弹力对Q的冲量大小为1.8 N·s,D项正确;小球经过竖直半圆轨道到达B点的过程中,由机械能守恒可得m????2=m????2+2mgR,代入数据解得vB=8 m/s,方向水平向左,小球Q所
2
2
1
1
1
1
受合力的冲量大小ΔI=mvQ-(-mvB)=3.4 N·s,B项正确;若半圆轨道半径可调,球Q能从B点飞出,由能量守恒得m????=mg·2R+mvB2
2
2
1
1
'2,解得
????'
vB'=√????2-4gR,又????
2
≥mg,则有
1
Rmax=1.62 m,当R≤Rmax时,球Q从A到B的过程中,由平抛运动规律有x=vB't,2R=2gt2,联
立解得x=√????2-4gR·√??=√-16(??-4??
????22????+,代入数据可知,当R==1.0125 m时,x有最)8??4??28??
??
4
??
2
大值,故球Q从B点飞出后落在水平桌面上的水平距离不一定随轨道半径的增大而减小,C项错误。
答案? BD
4.(2018·北京二模)(微元法)在测定电容器电容值的实验中,将电容器、电压传感器、阻值为3 kΩ的电阻R、电源、单刀双掷开关按图甲所示的电路图进行连接。先使开关S与1端相连,