第十章

练习一

一、选择题

1、下列四种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐振动？（ ）

(A)小球在地面上作完全弹性的上下跳动

(B)细线悬挂一小球在竖直平面上作大角度的来回摆动

(C)浮在水里的一均匀矩形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 (D)浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 2、质点作简谐振动，距平衡位置2.0cm时，加速度a=4.0cm/s2,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ ）

(A)1.2s (B)2.4s (C)2.2s (D)4.4s

3、如图下所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动，若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位为（ ）

(A) 0 (B) (C) ?? 2kmFOx? (D) ? 2 4、一质量为m的物体与一个劲度系数为k的轻弹簧组成弹簧振子，当其振幅为A时，该弹簧振子的总能量为E。若将其弹簧分割成两等份，将两根弹簧并联组成新的弹簧振子，则新弹簧振子的振幅为多少时，其总能量与原先弹簧振子的总能量E相等（ ）

(A)

AAA (B) (C) (D)A 242T时的质点速度为 ，2二、填空题

1、已知简谐振动x?Acos(?t??0)的周期为T ，在t?加速度为 。

2、已知月球上的重力加速度是地球的1/6，若一个单摆(只考虑小角度摆动)在地球上的振动周期为T，将该单摆拿到月球上去，其振动周期应为 。

3、一质点作简谐振动，在同一周期内相继通过相距为11cm的A,B两点，历时2秒，速度大小与方向均相同，再经过2秒，从另一方向以相同速率反向通过B点。 该振动的振幅为 ，周期为 。

4、简谐振动的总能量是E，当位移是振幅的一半时，当

EkE? ，P? ，EEx? 时，Ek?EP。 A三、计算题

1、一振动质点的振动曲线如右图所示， 试求：

(l)运动学方程；

(2)点P对应的相位；

(3)从振动开始到达点P相应位置所需的时间。 2、一质量为10g的物体作简谐运动，其振幅为24 cm，周期为4.0s，当t=0时，位移为+24cm。求：

(1)t=0.5s时，物体所在位置；

(2)t=0.5s时，物体所受.力的大小与方向；

(3)由起始位置运动到x=12cm处所需的最少时间；

(4)在x=12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能和总能量。

3、如右图所示，绝热容器上端有一截面积为S的玻璃管，管内 放有一质量为m的光滑小球作为活塞。容器内储有体积为V、 压强为p的某种气体，设大气压强为p0。开始时将小球稍向下 移，然后放手，则小球将上下振动。如果测出小球作谐振动时的 周期T，就可以测定气体的比热容比γ。试证明

4?2mV??

pS2T2(假定小球在振动过程中，容器内气体进行的过程可看作准静态绝热过程。)

练习二

一、选择题

1、一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动。若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上，试判断下面哪种情况是正确的：( )

(A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动 (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动 (C) 两种情况都可作简谐振动 (D) 两种情况都不能作简谐振动 2、在阻尼振动中，振动系统( ) (A) 只是振幅减小 (B) 只是振动变慢

(C) 振幅既不减小，振动也不变慢 (D) 振幅减小且振动变慢

3、下列选项中不属于阻尼振动基本形式的是( ) (A) 强阻尼 (B) 欠阻尼 (C) 过阻尼 (D) 临界阻尼

4、受迫振动的振幅依赖于( ) (A) 振子的性质 (B) 振子的初始状态 (C) 阻尼的大小 (D) 驱动力的特征 二、填空题

1、实际上，真实的振动系统总会受到阻力作用而作振幅不断减小的阻尼振动，这是因为阻尼的存在使系统的能量逐渐减少，能量损失的原因通常有两种： 和 。 2、在灵敏电流计等精密仪表中，为使人们能较快地和较准确地进行读数测量，常使电流计的偏转系统工作在 状态下。

3、试分别写出简谐振动、阻尼振动和受迫振动的运动微分方程 、 、 。 4、在阻尼很小的情况下，受迫振动的频率取决于驱动力的频率，当驱动力的频率逐渐趋近于振动系统的固有频率时，振幅达到最大值，这种现象叫做 。 三、计算题 1、质量为m=5.88kg的物体，挂在弹簧上，让它在竖直方向上作自由振动。在无阻尼情况下，其振动周期为T=0.4πs；在阻力与物体运动速度成正比的某一介质中，它的振动周期为T=0.5πs。求当速度为0.01m/s时，物体在阻尼介质中所受的阻力。

2、一摆在空中振动，某时刻，振幅为A0=0.03m，经t1=10s后，振幅变为A1=0.01m。问：由振幅为A0时起，经多长时间，其振幅减为A2=0.003m？

3、火车在行驶，每当车轮经过两根铁轨的接缝时，车轮就受到一次冲击，从而使装在弹簧上的车厢发生上下振动。设每段铁轨长12.6m，如果车厢与载荷的总质量为55 t，车厢下的减振弹簧每受10 kN（即1 t质量的重力）的载荷将被压缩0.8 mm。试问火车速率多大时，

振动特别强？（这个速率称为火车的危险速率。）目前，我国铁路提速已超过140 km/h，试问如何解决提速问题。

练习三

一、选择题

1、下列关于LC振荡电路中说法不正确的是( )

(A)电路中电流和电容器上的电量的变化也是一种简谐振动 (B)电容器放电完毕时，电路中的电流达到最大值

(C)电场能和磁场能相互转化，但总的电磁能量保持不变

(D)电容器充电时，由于线圈的自感作用，电流只能逐渐增大 2、LC振荡电路中电荷和电流的变化，下列描述不正确的是( ) (A) 电荷和电流都作谐振动 (B) 电荷和电流都作等幅振动

(C) 电荷的相位比电流的相位超前π/2 (D) 电荷和电流振动的频率相同

3、两同方向同频率的简谐振动的振动方程为x1?6cos(5t?（SI），则它们的合振动的振动方程应为（ ） (A) x?4cos5t?2，x2?2c)（SI）os(5t?)2??SI? (B)

???2?x?8cos?5t????SI?

(C) x?4cos?10t??????SI? (D)x?4cos??5t???SI?

?2?4、已知两同方向同频率的简谐振动的振动方程分别为x1?A1cos?(t?，则它们的合振幅应为（ ） x2?A2cos(?t?)（SI）

6(A)A1?A2 (B) A1?A2 (C)

2 (D) A12?A2?3，)（SI）

?2A12?A2

二、填空题

1、两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：

x1?6?10?2cos(5t?1?)?22 (SI) ， x2?2?10cos?(?5t) (SI)

它们的合振动的振辐为 ，初相为 。

2、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为

19x1?0.05cos(?t??)x2?0.05cos(?t??)4 (SI)， 12 (SI)

其合成运动的运动方程为x = 。

3、已知一物体同时参与两个同方向同频率的简谐振动，这两个简谐振动的振动曲线如下图所示，其中A1>A2，则该物体振动的初相为__ __。

xA2x2tA1x1 4、两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20 cm，与第一个简谐振动的相位差为? –?1 = ?/6。若第一个简谐振动的振幅为103cm = 17.3 cm，则第二个简谐振动的振幅为__ __ cm，第一、二两个简谐振动的相位差?1 ???2为 。 三、计算题

1、由一个电容C=4.0μF的电容器和一个自感为L=10mH的线圈组成的LC电路，当电容器

-5

上电荷的最大值Q0=6.0×10C时开始作无阻尼自由振荡，试求： （l）电场能量和磁场能量的最大值；

（2）当电场能量和磁场能量相等时，电容器上的电荷量。

2、三个同方向、同频率的谐振动为

x1?0.1cos(10t?)(m)

6x2?0.1cos(10t?)(m)

25?x3?0.1cos(10t?)(m)

6试利用旋转矢量法求出合振动的表达式。

3、当两个同方向的谐振动合成为一个振动时，其振动表达式为

x?Acos2.1tcos50.0t

式中t以s为单位。求各分振动的角频率和合振动的拍的周期。

??答案

第十章 练习一 一、选择题 1、(C)；

A中小球没有受到回复力的作用；

B中由于是大角度，所以θ与sinθ不能近似相等，不能看做简谐振动； D中球形木块所受力F与位移x不成线性关系，故不是简谐振动 2、(C)；

a??2x,?2?T?2??2?2a?2xT2???2.2s24

?,?t?3、(D)； t?0 x0??A v0?0 则??? 4、(A)； E0?二、填空题

21、?A?sin????0?、?A?cos????0?

1k0A02 k?4k0 A?22E0A?0 4k022、6T

T0?2?l 单摆拿到月球上， T?2?gll?6?2??6T0 gg63、7﹒78cm、8s 4、

231、、?

24412kxAEp1E3当位移是振幅的一半时，x?,??2?,k?

124E42EkA212kxEp211A,,? 当x???2?,?Ep?E?Ek

1222E2kA2三、计算题

1、解：（1）设x?Acos(?t??)(m)

由图可知，A=0.10m，x0=A/2=0.05m，v0＞0，所以????3

t=1s时，x1=0，故??5?6

所以质点振动的运动方程为x?0.10cos(（2）P点的相位为零 （3）由?P?5???)(m) 635??t??0得t=0.4s 63

2、解：已知A=24cm，T=4.0s，故ω=π/2 t=0时，x0=A=24cm，v0=0，故??0 所以振动方程为x?0.24cos(（1）xt?0.5?0.17m （2）at?0.5置

（3）由振动方程得?所以t=0.67s （4）vx?0.12?x?0.12?2t)(m)

d2x?2??0.419m/s2，故Ft?0.5?mat0??4.19?10?.5dtt?0.5??3N指向平衡位

?t2???3，因为此时v＜0，相位取正值，

dxdt??0.326m/s

x?0.12Ekx?0.12?12mv212kx2?5.31?10?4J

x?0.12Epx?0.12??x?0.121m?2x22?1.78?10?4J

x?0.12E?Ek?Ep?7.09?10?4J

3、证明：小球平衡时有p0S?mg?pS?0

d2x小球偏离x时，设容器内气体状态为(p1,V1)，有p0S?mg?p1S?m2，则

dtd2xpS?p1S? 2dtm???由于气体过程是绝热过程，有p1V1?p1(V?xS)?pV，则p1?p(1?xS??) V小球作微小位移时xS远小于V，则上式可写为p1?p(1??xS) Vd2x?pS2x???2x 所以，小球的运动方程为2??dtmV此式表示小球作简谐振动，振动周期为T?2???2?mV ?pS2mV2?24?2mV()?所以比热容比为?? 22pTSpST

练习二 一、选择题

1、(C)；2、(D)；3、(A)；4、(B)； 二、填空题

1、摩擦阻尼、辐射阻尼 2、临界阻尼

Fd2xdxd2xdxd2x222??0x?0、2?2???0x?0cos?dt 3、2??x?0、2?2?dtdtdtdtmdt4、共振

三、计算题

1、解：由阻尼振动周期T??2?2? ?22???0??得阻尼因子为???02?(2?22?2?)?()2?()2?3rad/s T?T0T?阻力系数为??2?m?35.3kg/s 阻力为F??v?0.353N

??t2、解：阻尼振动的振幅为A?A0e

将t=0，A0=0.03m和t1=10s，A1=0.01m代入上式解得??1A01ln?ln3 t1A110则振幅减为A2=0.003m所需时间为t2?1?lnA0?21s A2m?g10?103??1.25?107N/m 3、由题意知弹簧的劲度系数为k??3x0.8?10则车厢的固有频率为?0?k?15rad/s m当火车以速率v匀速行驶时，受撞击的角频率为??2???2?当ω0=ω时车厢将发生共振，此时速率即为危险速率，则

?l

??l?0?30m/s?108km/h 2?解决火车提速问题的措施之一是采用长轨无缝铁轨。

练习三 一、选择题

1、(D)；2、(C)；3、(D)；4、(C)； 二、填空题

1?1、4×10 m、2

-2

0.05cos(?t?2、

23?)12(SI)

3、?；由于位相差为?，合成后位相与x1同相即为?,A?A1?A2。

1?4、10、2

?三、计算题

1、解：由题可知，电容器极板上电荷量的初相为零，所以q?Q0cos?t，其中??1LC

Q02?4.5?10?4J （1）电场能和磁场能的最大值相等，即为电路的总电磁能W?2C1212dqq?Li，其中i???Q0?sin?t 2C2dt12112222则Q0cos2?t?LQ0?sin2?t?Q0sin?t 2C22C?3?5?7?所以，一个周期内电场能量和磁场能量相等时的相位为???t?, ,,4444（2）电场能量和磁场能量相等时，有此时电容器上的电荷量为q??2Q0??4.3?10?5C 22、解：如图下所示，由旋转矢量的合成得A=0.2m，?0??2 所以和振动的表达式为x?0.2cos(10t??2)(SI)

3、解：由题意有

?2??121?2.1，

?2??12?50.0

解得ω1=47.9rad/s，ω2=47.9rad/s 所以拍的周期??

?拍?2??1.5s

?2??1