4、如图：正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：∠BAF=2∠EAD.

【答案与解析】

证明：取BC中点G，连结AG并延长交DC延长线于H ∵ ∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC ∴ △GAB≌△HCG

∴ ∠GAB=∠H，AB=CH

又∵ AB=AD，∠B=∠D，BG=DE ∴ △ABG≌△ADE ∴ ∠GAB=∠DAE

在Rt△ADF中，设AD?a，由勾股定理得：

25223AF2?AD2?DF?a?(a)?2a416

5∴AF?a4 又HF?CH?CF?a?2a5?a 44 ∴ AF=HF ∴ ∠FAH=∠H ∴ ∠FAH=∠DAE ∴ ∠BAF=2∠DAE 【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF中取一个角使之等于∠EAD，再证明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角. 举一反三： 【变式】（2014春?防城区期末）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

【答案】

解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，

∵周长为36cm， AB+BC+AC=36cm， ∴3x+4x+5x=36， 得x=3，

∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，

∵AB+BC=AC，

∴△ABC是直角三角形， 过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm）， ∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm）． 故过3秒时，△BPQ的面积为18cm． 类型三、勾股定理的实际应用

5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？

2

2

2

2

2

【思路点拨】作点A关于直线CD的对称点G，连接GB，交CD于点E，利用“两点之间线段最短”可知应在E处饮水，再根据对称性知GB的长为所走的最短路程，然后构造直角三角形，利用勾股定理可解决． 【答案与解析】

解：作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以

知道在E点处饮水，所走路程最短．说明如下：

在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE． ∵ 点G、A关于直线CD对称，∴ AI＝GI，AE＝GE．

由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，

于是得证．

最短路程为GB的长，自点B作CD的垂线，自点G作BD的垂线交于点H，在直角三角形GHB中，

∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，

∴ 由勾股定理得GB?GH?BH?800?600?1000000．

∴ GB＝1000，即最短路程为1000米．

【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行比较来证明，如本题中的I点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用． 举一反三：

【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．

22222

【答案】

解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP， 即最短距离EP＋BP也就是ED．

∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4，

22222 ∴ AD＝4，根据勾股定理得：ED?AE?AD?3?4?25 ． ∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5．

6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问： （1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

【答案与解析】

解：（1）该城市会受到台风影响． 理由：如图，过点A作AD⊥BC于D点， 则AD即为该城市距离台风中心的最短距离． 在Rt△ABD中，因为∠B=30°，AB=240． ∴AD＝11AB=×240＝120（千米）． 22由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到影响． （2）依题（1）可知，当点A距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC上作AE=AF=200；台风中心从点E移动到点F处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图） 由勾股定理得，DE?AE?AD?200?120?25600 DE＝160（千米）． 所以EF=2×160=320（千米）．

又知台风中心以20千米/时的速度移动． 所以台风影响该城市320÷20=16（小时）． （3）∵AD距台风中心最近，

∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）． 答：该城市受台风影响最大风力7.2级． 【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．

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