《勾股定理》全章复习与巩固（提高）

责编：曾山

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一、勾股定理 1.勾股定理：

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a?b?c） 2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c，满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c； （2）验证：a?b与c是否具有相等关系：

若a?b?c，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形； 若a?b＞c时，△ABC是锐角三角形； 若a?b＜c时，△ABC是钝角三角形．

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2.勾股数

满足不定方程x2?y2?z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点诠释：

常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c，且a?b?c，那么存在a?b?c成立.（例如④中存在

272＝24＋25、92＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的应用

1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F为AB上两点(E左F右)，且∠ECF＝45°，求证：AE?BF?EF.

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【思路点拨】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE和∠BCF合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE旋转到△BCF的右外侧合并，或将△BCF绕C点旋转到△ACE的左外侧合并，旋转后的BF边与AE边组成一个直角，联想勾股定理即可证明． 【答案与解析】

解：(1)AE?BF?EF，理由如下：

将△BCF绕点C旋转得△ACF′，使△BCF的BC与AC边重合， 即△ACF′≌△BCF，

∵ 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°． ∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°． ∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°． 在△ECF和△ECF′中

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?CE?CE? ??ECF???ECF?45°

?CF?CF?? ∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′． 在Rt△AEF′中，AE?F?A?F?E， ∴ AE?BF?222EF． 222【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°

角内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分线、全等三角形等知识解决问题． 举一反三：

【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，

求证：BD2?AB2?BC2.

【答案】

解：将△ABD绕点D顺时针旋转60°．

由于DC＝AD，故点A转至点C．点B转至点E，连结BE． ∵ BD＝DE，∠BDE＝60°

∴ △BDE为等边三角形，BE＝BD

易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB ∵ 四边形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30° ∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270° ∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270° ∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°

∴BC2?CE2?BE2 ∴ BC2?AB2?BD2

2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

【答案与解析】

解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使CE=CP，连结EP，EB

在△APC和△BEC中

?AC?BC???PCA??ECB ?PC?EC?∴△APC≌△BEC

∴△PCE为等腰直角三角形

∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8 又∵PB2=1，BE2=9 ∴PE2+ PB2= BE2 则∠BPE=90°

∴∠BPC=135°

【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、PB、PC的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以利用旋转的思想来解，即将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合即△APC≌△BEC. 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用

3、（2016春?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

【思路点拨】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．

【答案与解析】

解：连接AC，如图所示： ∵∠B=90°，

∴△ABC为直角三角形， 又∵AB=3，BC=4，

∴根据勾股定理得：AC2=25， 又∵CD=12，AD=13，

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∴AD=13=169，CD+AC=12+5=144+25=169，

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∴CD+AC=AD，

∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，

则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB?BC+AC?CD=×3×4+×5×12=36．

故四边形ABCD的面积是36．

【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．