【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，关键是求出数列{an}的通项公式． 18．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝2，作BE⊥CD，E为垂足，将△CBE沿BE折到△PBE位置，如图2所示． （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PDE；

（Ⅱ）当PE⊥DE时，平面PBE与平面PAD所成角的余弦值为平面PAD所成角的正弦值．

时，求直线PB与

【分析】（Ⅰ）在图1中，由BE⊥CE，BE⊥DE，得到在图2中有，BE⊥PE，BE⊥DE，从而BE⊥平面PDE，由此能证明平面PBE⊥平面PDE．

（Ⅱ）由PE⊥DE，PE⊥BE，得PE⊥平面ABED．再由BE⊥ED，以E为原点，分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PAD所成角的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，因为BE⊥CE，BE⊥DE， 所以在图2中有，BE⊥PE，BE⊥DE， 又因DE∩PE＝E，所以BE⊥平面PDE， 因BE?平面PBE，故平面PBE⊥平面PDE．

解：（Ⅱ）因为PE⊥DE，PE⊥BE，DE∩BE＝E，所以PE⊥平面ABED．

又BE⊥ED，以E为原点，分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，

设PE＝a，D（2，0，0），P（0，0，a），A（2，2，0）， 则

＝（2，0，﹣a），

＝（2，2，﹣a）．

设平面PAD的法向量为＝（x，y，z）， 由

，即

．取z＝2，得＝（a，0，2），

取平面PBE的法向量为

＝（2，0，0），

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由面PBE与平面PAD所成角的余弦值为，得，即＝

，

解得a＝4，所以＝（4，0，2），

＝（0，2，﹣4），

＞|＝．

设直线PB与平面PAD所成角为α，sinα＝|cos＜所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为．

【点评】本题考查面面垂直垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

19．（12分）为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ）．

（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）（精确到0.001）及X的数学期望； （Ⅱ）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测． （1）下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：

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2

10.02 10.09 9.78 9.96 10.04 9.88 9.92 10.01 10.14 9.98 10.04 9.95 9.22 10.05 ＝

10.13 10.05 9.91 9.96 9.95 10.12 ≈0.19．

经计算得＝

xi＝9.96，s＝

其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值

，用样本标准差s作为σ的估计值

，利用估计值判断是否需对本次的

生产过程进行检查？

（2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）． 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.9974≈0.9517，0.9974≈0.9493，0.0507≈0.0026，0.9493≈0.9012．

【分析】（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，从而求出主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率，由二项分布得概率公式求P（X＝1），再由正态分布的期望公式求X的数学期望； （Ⅱ）（1）由

，s＝0.19，得μ的估计值为

﹣3

，

+3

，σ的估计值为

＝0.19，

20

2

2

2

19

由药品的主要药理成分（9.22）含量在（产过程进行检查．

）之外，可知需对本次的生

（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，由对立事件的概率公式求得P（A），在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，再由二项分布的概率公式求解．

【解答】解：（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，

从而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026， 故X～B（20，0.0026）． 因此P（X＝1）＝

X的数学期望为EX＝20×0.0026＝0.052； （Ⅱ）（1）由

，s＝0.19，得μ的估计值为

，σ的估计值为

＝0.19，

≈0.0495，

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由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在（＝（9.39，10.53）之外，因此需对本次的生产过程进行检查．

﹣3，+3）

（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A，则P（A）＝1﹣[P（X＝0）]≈1﹣（0.9974）＝1﹣0.9493＝0.0507；

如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，

故概率为P＝3[P（A）]×[1﹣P（A）]≈3×（0.0507）×（0.9493）≈0.007． 故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.007．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查离散型随机变量的期望与方差，是中档题． 20．（12分）已知椭圆C：（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设A、B为椭圆C的左、右顶点，过C的右焦点F作直线l交椭圆于M，N两点，分别记△ABM，△ABN的面积为S1，S2，求|S1﹣S2|的最大值． 【分析】（Ⅰ）根据题意可得：＝

，

＝1，a＝b+c，联立解出即可得出椭

2

2

2

2

2

2

2

20

20

＝l（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．

圆C的标准方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（2，0），当直线l的斜率不存在时，S1＝S2，于是|S1﹣S2|＝0；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣2）（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立得（1+2k）x﹣8kx+8k﹣8＝0．利用根与系数的关系代入|S1﹣S2|＝×4×|y1+y2|＝2

|k（x1+x2）﹣4k|，结合基本不等式的性质即可得出．

，

＝1，a＝b+c，

2

2

2

2

2

2

2

【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得：＝

2

解得：a＝8，b＝2． 故椭圆C的标准方程为：

＝1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知F（2，0），当直线l的斜率不存在时，S1＝S2，于是|S1﹣S2|＝0； 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣2）（k≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），

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