［0,

?5］时,f(x)=sinx,则f(π)的值为（ ）

321133 B. C.? D. 2222555??3π)=f(-π)=f(-π+2π)=f()=sin=. 333332A.?解析：由题意:f(

答案：D

类题演练2

设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，

2

f(x)=-2(x-3)+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析表达式. 解：当x∈［-3,-2］时，-x∈［２，3］. ∵f(x)是偶函数，

22

∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)+4=-2(x+3)+4. 又∵f(x)是以2为周期的周期函数， 当x∈［1,2］时，-3≤x-4≤-2,

22

∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］+4=-2(x-1)+4.

2

∴f(x)=-2(x-1)+4(1≤x≤2). 变式提升2

2

定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x∈(-2,2)时，f(x)=x+1，则x∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.

解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，

∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).

22

∴f(x)=f(x+4)=(x+4)+1=x+8x+17.

2

答案：x+8x+17 类题演练3

证明下列函数不是周期函数.

32

（1）y=x;(2)y=sinx.

33

证明：（1）因为y=x在x∈R上单调，设y取到值a,方程x=a不可能有两个不同的根，因

3

此y=x不是周期函数.

222

（2）设函数y=sinx是周期函数，周期为T，那么对所有的x∈R，sin(x+T)=sinx.由x的任意性，T=0，所以函数y不可能是周期函数. 变式提升3

(1)证明f（x)=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.

证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.

(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1

2

时,f(x)=-x+4.

①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期; ②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.

①证明：∵f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).

则f(x)的一个周期为2,且2n(n∈Z,n≠0)都是y=f(x)的周期.

27

②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1， 因此，0≤2-x≤1,

2

由已知有：f(2-x)=-(2-x)+4, ∵f(x)的周期为2，且为偶函数， ∴f(2-x)=f(-x)=f(x).

2

∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)+4.

28

1.3.2 三角函数的图象与性质

课堂导学

三点剖析

1.正弦函数、余弦函数的主要性质 【例1】求下列函数的定义域： （1）y=36?x2+lgcosx; (2)y=logsinx(cosx+

1). 2思路分析：利用三角函数单调性求解.

?36?x2?0,解：（1）由?得

cosx?0???6?x?6,? ???2k???x?2k??,k?Z.?22?

??3,)∪(?,6］. 2223??3故原函数的定义域为［-6，-?)∪(-,）∪(?,6］.

2222由上图可知不等式组的解集为［-6，-?)∪(-

32??sinx?0,?(2)由?sinx?1,

?1?cosx??,2???2k??x?2k???,?2?得?x?2k??,(k∈Z).

??22?2k????x?2k???,?33?∴原函数的定义域为（2kπ,2kπ+

??）∪（2kπ+,2kπ+23π）k∈Z. 22温馨提示

求函数的定义域,就是求使函数式有意义的x值集合.三角不等式常借助图象或三角函数线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不

29

等式组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出. 【例2】 比较下列各组中四个值的大小： （1）sin1,sin2,sin3,sin4; (2)cos1,cos2,cos3,cos4.

思路分析：转化到同一单调区间再比较. 解析：（1）∵0＜1＜

?3＜2＜3＜π＜4＜?, 22??,正弦函数y=sinx在（0，）上为增函数， 22∴sin4＜0,sin2=sin(π-2),sin3=sin(π-3). 而0＜π-3＜1＜π-2＜

∴sin(π-3)＜sin1＜sin(π-2),

即sin2＞sin1＞sin3＞sin4.

(2)由（1）可知，cos1＞0,cos2=-cos(π-2),cos3=-cos(π-3), cos4=-cos(4-π).而0＜π-3＜4-π＜π-2＜

??,余弦函数y=cosx在（0，）上为减函数， 22∴cos(π-3)＞cos(4-π)＞cos(π-2),

∴cos(π-3)＜-cos(4-π)＜-cos(π-2), 即cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 答案：（1）sin2＞sin1＞sin3＞sin4; (2)cos3＜cos4＜cos2＜cos1. 温馨提示

①要判断函数值的大小，主要依据是函数在这个区间上的单调性.②求三角函数的单调区间，可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量.③对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间. 2.正弦函数和余弦函数图象间的关系 【例3】作函数y=1?cos2x的图象.

思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象. 解：y=1?cos2x化为y=|sinx|, 即y=??sinx,2k??x?2k???,(k∈Z)

?sinx,2k????x?2k??2?,?其图象如下图.

温馨提示

①画y=|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画了y=sinx,x∈［0,π］、y=-sinx,x∈［π,2π］上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.②由图象可以看到函数y=|sinx|的最小正周期是π. 3.三角函数图象和性质综合应用

30