?4?2?3?+cos)+(cos+cos)
5555??2?2?=［cos+cos(π-)］+［cos+cos(π-)］
5555??2?2?=(cos-cos)+(cos-cos)=0.
5555解：(1)原式=(cos
(2)原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin1 866°-sin(-606°) =tan10°+
sin(180??10?)+sin(53360°+66°)-sin［（-2）3360°+114°］
cos(180??10?)=tan10°-tan 10°+sin66°-sin66°=0. 类题演练2 化简：
sin[??(2n?1)?]?sin[??(2n?1)?](n∈Z).
sin(??2n?)?cos(??2n?)sin(???)?sin(???)?2sin?2???.
sin??cos?sin??cos?cos?思路分析：考查诱导公式的应用，关键在于去掉“n”. 解：原式=
变式提升2
sin2??2sin?cos??cos2?(1)已知tan(π-α)=2,求的值. 224cos??3sin??1思路分析：首先求出tanα,其次将所求式子“弦化切”化简. 解：由tan(π-α)=2得tanα=-2.
sin2??2sin?cos??cos2?tan2??2tan??1?则原式= 2225cos??2sin?5?2tan?=?7. 3?3?-2α)=m,求cos(2α+)的值.
44?3?思路分析：根据（-2α）与（2α+）是互补的角，适当选择诱导公式计算.
44?3?解：∵（-2α）+(2α+)=π,
443??∴cos(2α+)=cos［π-(-2α)］
44?=-cos(-2α)=-m.
4(2)已知：cos(
类题演练3
求证sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1（x,y），由于角（π-α）的终边与角α的终边关于y轴对称，角（π-α）的终边与角α的终边关于x轴对称，角（π-α）的终边与单位圆的交点P2与点P1关于y轴对称，因此点P2的坐标是（-x,y），由三角函数的定
23
义得：
sinα=y,cosα=x,tanα=
y; xy; xsin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-α)=-
从而得sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 变式提升3 求证：sin(
??-α)=cosα,cos(-α)=sinα. 22?-α的终边与角α2证明：设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x,y）.由于角的终边关于直线y=x对称，角
?-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，2因此点P2的坐标是（y,x）.于是我们有： cosα=x,sinα=y;
??-α)=y,sin(-α)=x. 22??从而得sin（-α）=cosα,cos(-α)=sinα.
22cos(
类题演练4
在△ABC中，①sin（A+B+C）；②sin（A+B）+sinC；③cos（A+B）+cosC；④tan
A?BC2tan;⑤tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有_______________. 22解析：①sin(A+B+C)=sinπ=0.
②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.
③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0. ④tan
A?BCCCCC2tan=tan(90°-)tan=cot2tan=1. 222222⑤tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.
故应填①③④. 答案：①③④ 变式提升4
若f(sinx)=cos17x，求f(
1)的值. 2思路分析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式. 解：f(
1?17?5?5???3)=f(sin)=cos=cos(2π+)=cos=cos(π?)=-cos=?.
66626662 24
1．3.1 三角函数的周期性
课堂导学
三点剖析
1.周期函数与周期的意义
【例1】 求下列三角函数的周期. （1）y=sin(x+
?x?);（2）y=3sin(+). 325?,而sin(2π+z)=sinz, 3思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令z=x+
即f(2π+z)=f(z), f［(2π+x)+
??］=f(x+). 33∴周期T=2π. (2)令z=
x?+, 25则f(x)=3sinz =3sin(z+2π)
x?++2π) 25x?4???) =3sin(
25=3sin(
=f(x+4π).
∴T=4π. 温馨提示
理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=
2?求周期. ?2.判断函数是否具有周期性和求周期 【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π; (2)y=|sinx|+|cosx|的周期为
?. 2思路分析：观察特征，运用定义. 证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x的周期是π.
???)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), 222?∴y=|sinx|+|cosx|的周期是.
2(2)f(x+
温馨提示
“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.
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3.判断函数是否具有周期性
【例3】证明y=sin|x|不是周期函数. 思路分析：运用定义进行证明.
证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).
?时， 2??令x=,得sin|+T|
22???=sin||?sin(+T)=sin?cosT=1;
222???令x=-,得sin|-+T|=sin|-|
222???sin(-+T)=sin
22?-cosT=1?cosT=-1.
?由此得1=-1,这一矛盾说明T≥不可能.
2?(2)当T≤-时,
2令x=x′-T得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|?sin|x′-T|=sin|x′|,即-T是函数的周期.但
?-T≥,由(1)知这是不可能的.
2??(3)当-＜T＜时,
22令x=0得,sin|T|=sin|0|?sinT=0?T=0(周期不为零).
(1)当T≥
由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数. 温馨提示
进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立. 各个击破 类题演练1
求下列函数的最小正周期. （1）f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(
1?x?). 24解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.
(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π), 函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(
1?1?1??x?)=2sin(x?+2π)＝2sin［(x+)+］=f(x+4π),函数的2424244最小正周期为4π.
变式提升1
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈
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