【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；

（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠DAF．

在△ACF和△ADF中， ∵

，

∴△ACF≌△ADF（SAS）． ∴∠ACF=∠ADF．

∵∠ACB=90°，CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°， ∴∠ACF=∠B， ∴∠ADF=∠B． ∴DF∥BC．

②证明：∵DF∥BC，BC⊥AC， ∴FG⊥AC． ∵FE⊥AB，

又AF平分∠CAB， ∴FG=FE．

【点评】此题考查了学生以全等三角形的判定及平行线的判定的理解及掌握． 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 39．（2015秋?东平县期末）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG． （1）求证：AD=AG；

（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．

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【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB=∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF=∠CHE，所以∠ABD=∠ACG．再由AB=CG，BD=AC，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD=AG，

（2）利用全等得出∠ADB=∠GAC，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB=∠AED+∠DAE，又∠GAC=∠GAD+∠DAE，利用等量代换可得出∠AED=∠GAD=90°，即AG与AD垂直． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠HFB=∠HEC=90°，又∵∠BHF=∠CHE， ∴∠ABD=∠ACG， 在△ABD和△GCA中

，

∴△ABD≌△GCA（SAS），

∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）；

（2）位置关系是AD⊥GA， 理由为：∵△ABD≌△GCA， ∴∠ADB=∠GAC，

又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE， ∴∠AED=∠GAD=90°， ∴AD⊥GA．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 40．（2009?包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

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①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．

②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长． 【解答】解：（1）①∵t=1s， ∴BP=CQ=3×1=3cm，

∵AB=10cm，点D为AB的中点， ∴BD=5cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm， ∴PC=8﹣3=5cm， ∴PC=BD． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C，

在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）． ②∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ，

若△BPD≌△CPQ，∠B=∠C， 则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm， ∴点P，点Q运动的时间∴

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s，

cm/s；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得解得

．

×3=80cm． x=3x+2×10，

∴点P共运动了

△ABC周长为：10+10+8=28cm，

若是运动了三圈即为：28×3=84cm， ∵84﹣80=4cm＜AB的长度， ∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过

s点P与点Q第一次在边AB上相遇．

【点评】此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．

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