优化问题

1. 投资问题 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.49，信用等级数字越小，信用程度越高； （3）所购证券的平均到期年限不超过5年. 1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

表 证券信息

到期税前 A B C D E

证券种类 市政 代办机构 政府 政府 市政

信用等级 2 2 1 1 5

到期年限 收益（%） 9 15 4 3 2

4.3 5.4 5.0 4.4 4.5

2. 售书问题 一家出版社准备在某市建立两个销售代销点，向７个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上．每个销售代理点只能向本区和一个相连区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处才能使所能供应的大学生的数量最大？

3．下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？

4．生产计划问题 某企业拟生产A和B两种产品，其生产投资费用分别为2100元/t和4800元/t. A、B两种产品的利润分别为3600元/t和6500元/t. A、B产品每月的最大生产能力分别为5t和8t；市场对这两种产品总量的需求每月不少于9t. 试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大?

5．阿桑的计划 阿桑小姐是一个小学教师，她刚刚继承了一笔遗产，交纳税金后净得50,000美元。阿桑小姐感到她的工资已足够她每年的日常开支，但是还不能满足她暑假旅游的计划。因此，她打算把这笔遗产全部用去投资，利用投资的年息资助她的旅游。她的目标当然是在满足某些限制的条件下进行投资，使这些投资的年息最大。

阿桑小姐的目标优先等级是：第一，她希望至少投资20,000美元去购买年息为6％的政府公债；第二，她打算最少用5,000美元，至多用15,000美元购买利息为5％的信用卡；第三，她打算最多用10,000美元购买随时可兑换现款的股票，这些股票的平均利息为8％；第四，她希望给她的侄子的新企业至少投资30,000美元，她侄子允诺给她7％的利息。

统计问题

1、方差分析 在某化工生产中，为了提高收效率，选了三种不同浓度，四种不同温度做试验。在同一浓度与温度组合下各做两次试验，其收效率数据列于下表。试检验不同浓度不同温度以及它们间的交互作用对收效率有无显著影响。 B1 B2 B3 B4 浓度\\温度 A1 14 11 13 10 A2 9 10 7 6 A3 5 13 12 14 A1 10 11 9 12 A2 7 8 11 10 A3 11 14 13 10

2、协方差分析 育肥试验中，供试猪按所给不同促生长剂分成四组，每组随机地分配四头猪，且同样的试验共进行两批，得到供试猪试验前后体重x与y（单位；kg）的观测值如下，试以x为协变量作协方差分析。 1 2 生长剂 \\ 批次 (14.6 97.8) (12.1 94.2) (19.5 113.2) (18.8 110.1) 一 (13.6 100.3)(12.9 98.5) (18.5 119.4) (18.2 114.7) 二 (12.8 99.2) (10.7 89.6) (18.2 1222) (16.9 105.3) 三 (12.0 102.1) (12.4 103.8) (16.4 117.2) (17.2 117.9) 四 3、多元回归分析 已知煤的有机成分主要为碳（C）、氢（H）、氧（O）、氮（N）等元素，由于变质程度不同，它们的含量（%）也不同，煤的性能也不同。今搜集各种煤的样品10块，分别测得碳、氢、氧、氮与高发热量（卡/克）的含量如下表，试求高发热量与碳、氢、氧、氮的关系。

C 69 57 82 77 59 80 64 67 62 73 H 5.5 6 4.3 4.8 6 4.6 5.8 5.7 5.9 5 O 24 35 12 17 33 14 29 26 30 21 N 1.5 2 1.9 1.3 1.9 1.7 1.7 1.6 1.9 1.6 高发热量 6700 5200 8400 7500 5400 8000 6000 6300 5700 7000

4、典型相关分析 棉花红铃虫第一代发蛾高峰日y1、第一代累计百株卵量y2、发蛾高峰日百株卵量y3及2月下旬至3月中旬的平均气温x1(℃)、1月下旬至3月上旬的日照小时累计数的常用对数x2的16组观测数据如下表，试作气象指标x1、x2与y1、y2、y3的典型相关分析。 x1 x2 y1 y2 y3 1 9.200 2.014 186 46.3 14.3 2 9.100 2.170 169 30.7 14.0 3 8.600 2.258 171 144.6 69.3 4 10.233 2.206 171 69.2 22.7 5 5.600 2.067 181 16.0 7.3 6 5.367 2.197 171 12.3 8.0 7 6.133 2.170 174 2.7 1.3 8 8.200 2.100 172 26.3 7.9 9 8.800 1.983 186 247.1 85.2 10 7.600 2.146 176 47.7 12.7 11 9.700 2.074 176 536. 25.3 12 8.367 2.102 172 137.6 58.0 13 12.167 2.284 176 118.9 43.3 14 10.267 2.242 161 62.7 29.3 15 8.900 2.283 171 26.2 8.3 16 8.233 2.068 172 123.9 32.7 5、聚类分析 现有8个企业，对每个企业用3个指标来刻画企业的技术密集水平：生产工人劳动生产率（x）、每百万元固定资产所容纳的职工人数（y）和技术管理人员在职工中的比重(z)。具体数据如下表，试对这8个企业的技术密集水平作聚类分析。 1 2 3 4 5 6 7 8 z 1.8 2.1 3.2 2.2 2.5 2.8 1.9 2.0 y 95 99 101 103 98 102 120 130 z 0.15 0.21 0.18 0.17 0.16 0.20 0.09 0.11

6、判别分析 观测3名健康人和4名心肌梗塞病人的心电图的3项指标x、y、z所得的观测值如下表，现有一人心电图的3项指标为（400.72，49.46，2.25），请问他应属两类中的哪一类。

x y z 类 号 1 1 436.70 49.59 2.32 1 2 290.67 30.02 2.46 1 3 352.53 36.23 2.36 2 1 510.47 67.64 1.73 2 2 510.41 62.71 1.58 2 3 470.30 54.40 1.68 2 4 364.12 46.26 2.09

7、主成分分析 下表是某地区某时间的气候综合指数，其中，x1为某地区平均降水量，x2为气压值，x3为气温值，x4为绝对湿度。试用主成分分析法分析该地区的气候综合指数。 x1 42.4 10.2 116.8 4.8 43.6 13.3 61.1 x2 12 19.4 24.6 28.8 24.7 28.3 18.7 x3 24 18.4 12.5 1 2.8 1.8 8.8 x4 22.7 15.1 12.1 4.4 5.4 4.7 8.5 x1 83.4 90 18.8 47.6 99.6 100.1 80.6 x2 5.7 12.8 19.4 22.8 21 23 2.8 x3 27.5 23.7 17.4 13.3 9.5 3.6 2.6 x4 29.4 23.6 15.1 12.3 10.6 6.7 6.2 8、因子分析 对10名大学生进行有关价值观的测验，包括9个项目，测试结果如下表所示，表中数据为各学生在相应测验项目上的得分。试根据这9项内容作相应的因子分析。 合作性 分配 出发点 工作投入 发展机会 社会地位 权力距离 职位升迁 领导风格 16 16 13 18 16 17 15 16 16 18 19 15 16 18 18 18 17 19 17 17 17 14 17 18 16 16 16 17 17 17 16 19 18 19 20 19 16 15 16 16 18 18 15 16 16 20 17 16 17 18 18 17 19 18 18 16 16 20 15 16 19 14 17 14 16 15 19 19 19 18 19 14 19 19 20 14 18 20 19 17 20 19 14 14 116 17 16 17 18 19 99.3 18.3 13.7 11.8 90 21.2 6.8 8.3

9、模糊识别 对某个国家不同的三个民族A、B、C的身高x1、坐高x2、鼻深x3和鼻高x4进行抽样调查获得样本的聚类中心，结果如下表所示。现测得某人的x1=162.23,x2=84.34,x3=22.11,x4=47.56，试识别这个人应该属于哪个民族。

民族 A B C x1 164.51 160.53 158.17 x2 86.43 81.47 81.16 x3 25.49 23.84 21.44 x4 51.24 48.62 46.72

10、模糊规划 某药品加工厂生产甲乙两种药品，甲种药品每千克利润3万元，乙种药品每千克利润4万元。生产每千克甲种药品需要原料A略少于4kg，需要原料B约12kg。生产每千克乙种药品需要原料A略多于20kg，需要原料B约6.4kg。现原料A还有约4600kg，原料B还有约4800kg。如何安排甲乙两种药品的产量以使利润最大。

孤岛疾病问题

考虑在一个人口数量为N的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻t将会被感染的人数X。考虑一下模型，其中k>0为常数：

dX?kX(N?X)dt

(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？ (b) 画出dX/dt关于X的图形 (c) 若初始被感染的人数

X1?N/2，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为

X1?N/2，画出X关于t的图形。

(d) 把X作为t的函数，解出前面给出的模型。 (e) 由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。

(f) 设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表

天数t 被感染人数X ln(X/(N-X))

2 1887 -0.5 6 4087 1.5 10 4853 3.5 问这些数据能否支持所给的模型？ (g) 利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。 (h) 分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。