东北大学毕业设计（论文） 第2章 连铸二冷凝固传热数学模型的建立
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ρ—密度，kg·m-3；c是热容，J·kg-1·℃； -1keff—导热系数，W·m-1·℃；
So—内热源项，W·m-3。
在钢的凝固过程中，内热源项来自于固液两相区之间释放的潜热。因此，内热源项可用下式表示：
SO??L?fs (2.4) ?t式中：L—凝固潜热，J/kg。
将式(2.4)代入式(2.3)中，整理得到式(2.5)。
?ceff?T???T????T????keff??keff? (2.5) ???t?y??y??x??x?-1
式中：ceff—等效热容，J·kg-1·℃。
ceff?c?L?fs (2.6) ?T式中：fs—固相率。
该处理潜热的方法称作等效热容法。但是，ceff在靠近液相线或共晶温度时具有不连续性或变化很大，因此难以保证热量的守恒。这也是该方法的局限。另外，热焓法也应用于凝固潜热的处理。热焓法采用热焓代替温度作为变量，避免了热容在液相线附近产生突变而导致热量不守恒和计算稳定性差的问题，保证了相变过程中能量守恒。
H?T????(?)c(?)d???(T)L?1?fs? (2.7)
0T?H???T????T????k?k?? (2.8) effeff???t?y??y??x??x?考虑到钢的热容较容易获得，本文采用等效比热法处理凝固潜热。为了解决潜热导致热容在液相线附近突变，进而使数值计算稳定性变差，需要控制模型计算时间步长Δt。若网格尺寸满足Δx=Δy，则时间步长Δt应满足下式。
??x??t?4a2 (2.9)
式中，Δt—时间步长，s；
Δx—网格尺寸，m；
a—热扩散系数，a=keff/(ρ·ceff)，m2·s-1。
本文时间步长设定为0.1 s。固相、液相和糊状区的传热微分方程分别为式(2.10)、
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(2.11)和(2.5)所示。
?cs?cl?T???T????T????ks???x?ks?x? (2.10) ?t?y??y?????T???T????T????kl???x?kl?x? (2.11) ?t?y??y????2.3 求解条件
2.3.1 初始条件
初始条件是指传热过程开始时物体在整个区域中所具有的温度为已知值。根据模型假设，本文假定凝固初始温度为钢水浇注温度，即：
T=Tc (x≥0，y≥0， t≥0，z=0) (2.12)
式中，Tc是浇注温度，单位℃。本文取浇注温度1539℃。
2.3.2 边界条件
传热边界条件通常有以下三种情况[60]：
第一类边界条件是已知任何时刻边界面上的温度分布，即：
TΓ = T0 ，TΓ = f (x, y, z, t) (2.13)
式中：Γ—物体边界；
T0—已知温度(常数)，℃； f (x, y, z, t)—已知温度函数，℃。
第二类边界条件是已知任何时刻边界面上的热流密度分布，即：
?keff?T?n??q 即 ?keff?T?n??g(x,y,z,t)
(2.14)
式中：q—热流密度(常数)，W·m-2；
g(x, y, z, t)—热流密度函数，W·m-2。
第三类边界条件是已知与物体相接触的流体介质的温度和换热系数，即：
?keff?T?n??h(T?Tf)? (2.15)
式中：Tf—流体介质的温度，℃；
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h—换热系数，W·m-2·℃；
Tf和h—常数或随时间和位置而变化的函数，W·m-1·℃-1。 (1)结晶器
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Savage通过测定以1.0 m·min-1拉速浇铸低碳钢时，静止水冷结晶器内热流与钢液停留时间的关系，得出结晶器壁与铸坯界面间局部热流密度q的计算公式：
m-2 (2.16) q?2.68?0.34t MW·
式中：t—时间，s；
z—距结晶器弯月面的距离，m； v—拉速，m·min-1。
所以，结晶器热流密度通用公式为：
m-2 (2.17) q?A?Bt MW·
式中，A和B为待定系数。根据结晶器的冷却条件和热电偶实测温度可以确定。 (2)二冷区
在二冷区，铸坯中心钢液的热通量通过坯壳的传导传到表面，喷雾水滴达到铸坯表面把热量带走，表面温度突然降低，使中心与表面形成较大的温度梯度，这是铸坯传热的动力。二冷区铸坯表面热量传递有以下方式，如图2.7所示[61]。
夹棍铸①②喷嘴坯③④
图2.7 二冷区铸坯表面传热方式
① 铸坯表面向空气中的辐射25%； ② 喷雾水滴蒸发33%； ③ 喷淋水滴浸渍25%； ④ 辊子与铸坯接触传导17%。
很多模型为了简化计算，往往不考虑辊子与铸坯的传导传热。这项占整个二冷传热
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中的17%左右，忽略这部分的计算必然会使模拟过程与实际过程有很大的出入。本文将铸坯与辊子的导热折合成对流传热，因而采用综合换热系数处理。
二冷区综合传热系数是描述二冷区传热效果和进行连铸计算的重要参数，它与喷嘴类型、喷嘴布置、水流密度、水温及铸坯表面状态有关，由于传热系数的重要性，国内外学者进行了大量的测定和研究，得到了不同条件下的经验公式。
另外，将辊子与铸坯的接触导热、冷却水聚集蒸发传热等折算到二冷传热系数hw中。本模型采用Nozaki经验公式hw?1.57W0.55(1?0.0075Tw)/?，计算传热系数hw。式中α取决于连铸机条件。
(3)空冷区
空冷区主要考虑铸坯表面向周围空气的热辐射，并将其转换为对流传热，如式(2.17)所示。
q???((Ts?273)4?(Tamb?273)4)
22???((T?273)?(T?273))((Ts?273)?(Tamb?273))T(s?Tamb) samb
?he(Ts?Tam)b (2.18)
he???((Ts?273)2?(Tamb?273)2)((Ts?273)?(Tamb?273)) (2.19)
式中，he—等效对流传热系数，W·m-2·℃-1；
Tamb—环境温度。 (4)铸坯中心
根据假设，铸坯中心对称面为绝热面，其边界条件属于第二类边界条件。
2.4 参数选取
大多数二冷传热模型将钢物性参数作为常数处理，虽然降低了模型的复杂度，但同时降低了模型的计算准确度。另外，对特定的钢种进行实验室实验，以确定钢的物性参数，应用于传热模型不仅简化了传热模型，而且提高了模型的准确度。但是实验室通常只能测试有限个温度点的物性参数，因此需要数学手段进行辅助处理，以获得整个凝固过程的物性参数。此外，可参阅相关手册获取特定钢种的物性参数。
为了简化模型的计算过程，本文假定钢的固相线和液相线呈线性分布，采用主要参数选取如下。
2.4.1 液固相线温度
在目前的情况下，液相线温度可以通过已有的文献资料[62]所给出的计算公式计算获
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