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矩阵A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 矩阵A的任一列向量是对应于n的特征向量。 矩阵A的归一化特征向量可作为权向量。
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1 2 1 4 1 3 1 3 C2
1
3 5 1 3
中，由
4 2 1 1 7 1
2 5 1
3 5
7 1
3 5 1 2
然而，我们构造的成对比较矩阵A
C1
a12
C2
1
，a13 2
C1
4可以得到a23 C3
1 1
1 1
8 ，而事实上a23 7 。因此矩 C3
阵A并不是一致阵，事实上在大多情况下我们构造的成对比较矩阵都不是一致
阵。对于这样的矩阵我们如何来确定权向量呢？我们通常的作法是： (但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根 权向量。
(2) 一致性检验（确定成对比较阵不一致的允许范围），计算权向量。
已知n阶一致阵的唯一非零特征根为 n, 且 一致性指标：CI
n时为一致阵。
，CI越大，不一致性越严重。
n 1
n
对于不一致 的特征向量作为
n，可证：n阶正互反阵最大特征根
随机一致性指标：随机产生多个矩阵，将每个矩阵的一致性指标相加然后取平均 值得到RI。
n RI
1 2 3 4 5 6 1.24
7 8 9 10 1.49
0 0 0.58 0.90 1.12 1.32 1.41 1.45
11 1.51
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表
2Saaty
的随机一致性指标
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注：标2中的n表示成对比较阵的维数。
CI
一致性比率如果CR 步骤4计算组合权向量
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0.1，构造的成对比较矩阵 RI
A通过一致性检验。
,n
记第2层(准则层)对第1层(目标层)的权向量为
w
(2)
w
(2),,w(2) 1
Tn
同样求第3层(方案层)对第2层每一元素(准则层)的权向量
(3)
(3) wk1,
(3)(3)wk,wkm T ,k1,2,
w1, ,wn
(3)
(3)构造矩阵
W
则第3层(方案层)对第1层(目标层)的组合权向量
w
(3) W(3)w(2)
以此类推，第s层对第1层的组合权向量
其中W是由第
p
w
(s) W(s)W(s1)
W
(3)w(2)
层次分析法的应用
层对第 -1层权向量按列组成的矩阵。 p p
1、应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策， 交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 2、处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
3、建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
4、构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。 层次分析法的若干问题
2. 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？
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不完全层次结构
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上层每一元素与下层所有元素相关联，这种层次结构称为 则称为不完全层次结构，不完全层次结构又分为两种，
完全层次结构，否
一种为不完全层次出现在
准则层与子准则层之间，这种不完全结构容易处理，我们将不支配的那些因素的 权向量分别简单的置 出现在准则层与方案层之间
0，就可以用完全层次结构的办法处理，但如果
不完全结构
，则处理起来就有些麻烦，我们看下面的例子。
(图3)，该图中C1,C2支配元素的数目不等，此层次
例评价教师贡献的层次结构 结构称为不完全层次结构。
设第2层对第1层权向量w2 T w1 3
w11,w12,w13,0，w2
3
3333T
22w ,w 已定，第3层对第2层权向量 1 2
T
0,0,w23,w24
33
3
已得，讨论由w2,W3
w1 ,w2
3 计
算第3层对第1层权向量w 的方法。
贡献O
教学C1 科研C2
P1 P2 P3 P4
图3评价教师贡献的层次结构
我们首先考察一个特例：若C1,C2重要性相同, P1,P2,P3,P4
能力相同,w1
3 3 3
T
3
则w
1 1
0,0,,
2 2
31 , 1 , 1 ,0,w2
T
2
T 1,1
，
2 2
，则公正的评价应
为：P1:P2:P3:P41:1:2:1。
若不考虑支配元素数目不等的影响，仍用
w
(3)
Ww计算，则
(3)(2)
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