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常见评价模型简介

评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如 国赛A题长江水质的评价问题，

2005年全

2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主

要介绍三种比较常用的评价模型： 层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联 分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。

层次分析模型

层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一 般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素 采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直 到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其 主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把 决策过程层次化、数量化。

运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1建立层次分析结构模型

深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层

或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，

借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，

若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

(目标—准则或指标—方案

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步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)

组合权向量可作为决策的定量依据

通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。

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例 (选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、

饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1建立系统的递阶层次结构

将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元

步骤2构造比较矩阵

元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家

率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。

A.L.Saaty 教授提出的1~9比

准则层

1 C 景色

2

C 费用

素间的关系用相连的直线表示。

目标层

选择旅游地

3

C 居住

C4饮食

C5旅途

方案层 P1桂林 P2黄山 P3北戴河

图1选择旅游地的层次结构

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标度值 1 3 5 7 9 2、4、6、

8 以上各数值的倒数

设要比较各准则C1,C2,

显然，A是正互反阵。

步骤3计算被比较元素对于该准则的相对权重

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含义

两因素相比，具有同等重要性 两因素相比，前者比后者稍重要 两因素相比，前者比后者明显重要 两因素相比，前者比后者强烈重要 两因素相比，前者比后者极端重要

表示上述相邻判断的中间值

若指标i与指j比较相对重要性用上述之一数值标度，j与指标i标 则指标 的 相对重要性用上述数值的倒数标度

表11~9标度的含义

,Cn对目标O的重要性，记判断矩阵为A

1 1 2

1 A4 1 3 1 3

2 1 1 7 1

4 7 1

2

3 3 5 1

3 5 1

2 1 1 5 1

3 1 1 5

(1) 一致阵的定义与性质一

致阵的定义

要由A确定C1,C2,,Cn对目标O的权向量，我们首先考察一致矩阵的性质。 称满足aijajkaik,i,j,k1,2,

A

w1 w1 w2 w1 wn w1

,n的正互反阵为一致阵。例如 w1 w2 w2 w2 wn w2

w1 wn w2 wn wn wn

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一致矩阵的性质

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