例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.

（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630

误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：

223C7C5A3?1260，选B.

错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.

223C7C5A3正解：?630种.

24遗漏计算出错

在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。 例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ） （A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个 误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法， 又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取

0

1，3 22法，剩下3个数排中间两个位置有A3种排法，共有2?3?A3?36个.

错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.

3正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有2?3?A3?36个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和

共有72个，选D. 5忽视题设条件出错

在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解. 例7 (2003全国高考题)如图，一个 地区分为5个行政区域，现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4

3 1 4 2 5 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有

12C3?2?A2?12种，由乘法原理共有：4?12?48种.

错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一．．定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务.

正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3

3种有C4种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区3域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有C4?3?2?24种.综上共有：48?24?72种.

9

例8 已知ax2?b?0是关于x的一元二次方程，其中a、b?{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数.

2误解：从集合{1,2,3,4}中任意取两个元素作为a、b，方程有A4个，当a、b取同一个数时方程有1个，共2有A4?1?13个.

错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的??”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于．．．．

?a?1?a?2?a?2?a?4和?和?同解、?同解，故要减去2个。 ?b?2b?4b?1b?2????正解：由分析，共有13?2?11个解集不同的一元二次方程. 6未考虑特殊情况出错

在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.

例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） (A)1024种

(B)1023种

(C)1536种

(D)1535种

误解：因为共有人民币11张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有210?1?1023种.

错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.

正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有29?3?1?1535种. 7题意的理解偏差出错

例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.

863843533（A）A6 （B）A8 （C）A5 （D）A8 ?A6?A3?A6?A5?A35误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A5种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三

353人有A6种方法，这样共有A6种排法，选A. ?A5错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互．不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相．．．邻.

正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的

863方法数，即A8，故选B. ?A6?A38解题策略的选择不当出错

有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决.

例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.

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（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种

误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3?4?4?48种方案.

错因分析：显然这里有重复计算.如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去了甲工厂，这与b班先派去了甲工厂，a班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.

正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4?4?4?3?3?3?37种方案.

排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好. 六．练习

1五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号

子项目，则不同的承建方案共有(B)

141444AC4种 DA4种 C4种 BC4A4种 CC42在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 192 个

3有12个座位，现安排2人就座并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是____110__ ．

4某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，

若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：

A．

（ D ）

1 10B．

1 20C．

11 D． 401205用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 576 个 ．

6把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数( D ) A．168 B．96 C．72 D．144

7将标号为1，2，?，10的10个球放入标号为1，2，?，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ B ） ．

A．120

B．240 C．360 D．720

8从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这

3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共（ B ）种 A．210种

B．420种 C．630种 D．840

9从集合{ P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_5832________．(用数字作答)． 10从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ B ） A．300种 B．240种 C．144种 D．96种

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44题示：C4A4?2C43?3?A33?C42?2?A33

11四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( B) A96 B48 C24 D0 12 4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有___种 4解析：2A44·A4=1152种 答案：1152

13某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_________种（结果用数值表示）

2解析：设素菜n种，则C5·C2n≥200?n（n－1）≥40，所以n的最小值为7 答案：7

14设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?

分析：五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置 2解：先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有C5种；剩下的三个球，不失一般性，

不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为C12，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原

2理共有C5·C12=20种 点评：本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成 15 球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？

解：设击入黄球x个，红球y个符合要求， 则有 x+y=4，2x+y≥5（x、y∈N），得1≤x≤4 ?x?1,?x?2,?x?3,?x?4,∴? ???y?3;y?2;y?1;y?0.????3223140相应每组解（x，y），击球方法数分别为C14C6，C4C6，C4C6，C4C6

3223140共有不同击球方法数为C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=195 七．排列组合问题经典题型与通用方法

（一）排序问题

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

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