第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；

11第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有C4P3?12个； 2第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有C4?6个

由分类计数原理共有1+12+6=19（个） 点评：问题（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m个不同的信箱，有m 种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏 例5 四面体的顶点和各棱的中点共10个点

（1）设一个顶点为A，从其他9点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有多少种？

（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？ 解：（1）如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从

nAEDPBMGNF3中取出3点必与点A共面，共有3C5种取法 C含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法 3根据分类计数原理和点A共面三点取法共有3C5?3?33种

4（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（C10种

取法）减去4点共面的取法 取出的4点共面有三类：

4第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有4C6种取法

第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法 第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法

4根据分类计数原理4点共面取法共有4C6?6?3?69

44故取4个点不共面的不同取法有C10?4C6?6?3?141（种）

??点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共

面与不共面，线共面与不共面等

三、排列组合解题备忘录 ：

m⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有Pm种“捆绑”方法 ⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 Pnm种不同的“插入”方法 ⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有Cn种不同的“插入”方法 mm⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以Pm

四．排列组合问题中的数学思想方法 （一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。

例.已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，求同时满足下列条件的集合C的个数：

5

1）C?A?B且C中含有3个元素，2）CA??

B含有4个元素，所以AB中的元

8 4 8 解：如图，因为A，B各含有12个元素，A素有12+12-4=20个，其中属于A的有12个，属于A而不属于B的有8个，要使

CA??，则C中的元素至少含在A中，集合C的个数是：1）只含A中1个元素

1213的有C12C82；2）含A中2个元素的有C12C8；3）含A中3个元素的有C12C80，故1213所求的集合C的个数共有C12C82+C12C8+C12C80=1084个

（二）．等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。 1.具体与抽象的转化

例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？

分析：没击中用“1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？

21解：1）两个0不相邻的情况有C6种，2）两个0相邻的情况有C6种，所以击中和末击中的不同顺序情况21有C6+C6=21种。

2）不同的数学概念之间的转化

例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？

分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥）

解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有C84种，其中4点共面的有12种，（6个表面和6个对角面）将不共面的4点可构一个三棱锥，共有C84-12个三棱锥，因而共有3（C84-12）=174对异面直线。

综上所述，有以上几种解排列组合的方法，此外，当然也还有其他的方法要靠我们去发现和积累，我们要掌握好这些方法，并且能够灵活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻易解决很多问题。

教师点评：对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面，而且挖掘出其中所蕴藏的数学思想方法，对学习排列组合有一定的指导性。 （三）容斥原理与计数 1、文氏图：

在文氏图中,以下图形的含义如下： 矩形：其内部的点表示全集的所有元素； 矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合； 圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。

6

2、三交集公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C （A∪B∪C指的是E，A∩B∩C指的是D）

（四）模型构造

例1. 4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种.

例2. 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.

这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.

例3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.

解析：可以分类解决：

第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.

对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.

设n个元素全错位排列的排列数为Tn，则对于例3，第一类排列数为T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为5T4，第三类先确定两个排原位的同

2学，有C5=10种，所以第三类的排列数为10T3，因此例3的答案为：T5+5T4+10T3.

五．排列组合中的易错题 1没有理解两个基本原理出错

排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.

例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.

误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法. 错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.

2正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C6种方法；323第二步是在组装计算机任意选取3台，有C5种方法，据乘法原理共有C6种方法.同理，完成第二类办?C5322332法中有C6种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有C6?C5?C5?C6?C5?350种方法.

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.

7

33（A）A4 （B）43 （C）34 （D）C4

误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A. 错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.

正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有

3?3?3?3?34种.

说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能. 2判断不出是排列还是组合出错

在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.

例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？

8误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A8种方法.

错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.

正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位

3置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：C8?56排法.

3重复计算出错

在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。 例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种

4误解：先从5本书中取4本分给4个人，有A5种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共4有4?A5?480种不同的分法，选A.

错因分析：设5本书为a、b、c、d2：

乙 甲丙 丁

b a d c e 表1

、e，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表甲

e a

乙 b

表2

丙 c 丁 d

表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲的情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.

正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有

2424C5?A4?240种方法，故种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有A4种方法.由乘法原理，共有C5选B.

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