排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧和三大模型
总论：
一、知识点归纳 二、常见题型分析
三、排列组合解题备忘录 1．分类讨论的思想 2.等价转化的思想 3.容斥原理与计数 4.模型构造思想
四、排列组合中的8大典型错误 1．没有理解两个基本原理出错 2.判断不出是排列还是组合出错 3.重复计算出错 4.遗漏计算出错
5.忽视题设条件出错 6. 未考虑特殊情况出错 7．题意的理解偏差出错
87.解题策略的选择不当出错 五、排列组合24种解题技巧 1．排序问题 相邻问题捆绑法 相离问题插空排
定序问题缩倍法（插空法） 定位问题优先法 多排问题单排法 圆排问题单排法
可重复的排列求幂法 全错位排列问题公式法
2．分组分配问题
平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法 全员分配问题分组法 有序分配问题逐分法
3．排列组合中的解题技巧 至多至少间接法
染色问题合并单元格法 交叉问题容斥原理法 构造递推数列法
六．排列组合中的基本模型 分组模型（分堆模型） 错排模型 染色问题
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一．知识点归纳
1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的．．．
顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．． 2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取
m出m元素的排列数，用符号An表示 m3．排列数公式：An?n(n?1)(n?2)(n?m?1)（m,n?N?,m?n）
4 阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!?1．
m5．排列数的另一个计算公式：An=
n! (n?m)!6 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合 7．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中
m取出m个元素的组合数．用符号表示． Cn．．．
Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1)8．组合数公式：C?m?
Amm!mn或Cn?mn!(n,m?N?,且m?n) m!(n?m)!mn?m09 组合数的性质1：Cn．规定：Cn?Cn?1；
mmm?110．组合数的性质2：Cn＝+ CCn?1n024Cn?Cn?Cn?135?Cn?Cn?Cn?01?2n?1;Cn?Cn?nCn?2n
11.“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：
分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，。
12.“２1个技巧”是迅速解决排列组合的捷径 二．基本题型讲解
例1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数
（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人； （2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒， 乙不跑第四棒；
（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、 乙、丙可以不相邻） 6解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为A6?720
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15（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A4种选法，然后其他5人选，有A5种选法，故排
15法种数为A4A5?480
（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：
3①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为A5；
11②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有A4种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有A4种选法，其112余两棒次不受限制，故有A4A4A2种排法，
3112由分类计数原理，共有A5?A4A4A4?252种排法
25（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有A2A5?240种排法
（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之
426间的空挡插位，共有A4A5（或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为A6?240?480）
（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3
33个位置上全排列，故有排法C6A3?120种
点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻 例2 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？ （1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品 5解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C97种 ?64446024（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有
32种 C97C3?442320（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：
32第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C97种 C323第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有C97种 C33223按分类计数原理有C97C3?C97C3?446976种
点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是C3C98?466288种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A、C（或B、C），第
23二步再抽B（或A）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式C3C98中算作3种不同抽法 23例3 求证：①An?1?mAn?1?An ；②Cn证明：①利用排列数公式
mm?1mm?1m?1mm?1?Cn?2Cn?Cn?2
3
左?m??n?1?! ??n?m?1?!?n?m?!?n?1?! ??n?m??n?1?!?m???n1?!?n!?Am?右
?n?m?!n?n?m?!
另一种证法：（利用排列的定义理解）
从n个元素中取m个元素排列可以分成两类：
m①第一类不含某特殊元素a的排列有An?1
m?1第二类含元素a的排列则先从?n?1?个元素中取出?m?1?个元素排列有An?1种，然后将a插入，共有mm?1个空档，故有m?An?1种， mm?1m因此An?1?m?An?1?An
②利用组合数公式 左?n!n!2n! ???m?1?!?n?m?1??m?1??n?m?1?!m?n?m?!＝n!???n?m??n?m?1??m?m?1??2?m?1??n?m?1???m?1?!?n?m?1?!??n?2?!n!m?1?n?2??n?1???Cn?2?右
?m?1?!?n?m?1?!?m?1?!?n?m?1?!mmm?1另法：利用公式Cn?Cn?1?Cn?1推得
m?1mmm?1m?1nm?1左?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?1?Cn?1?Cn?2?右
????点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质 例4 已知f是集合A??a,b,c,d?到集合B??0,1,2?的映射 （1）不同的映射f有多少个？
（2）若要求f?a??f?b??f?c??f?d??4则不同的映射f有多少个？ 分析：（1）确定一个映射f，需要确定a,b,c,d的像
（2）a,b,c,d的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算 解：（1）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有3?3?3?3?3个不同映射 4（2）根据a,b,c,d对应的像为2的个数来分类，可分为三类：
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