∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36° ∴∠AME＝72° ∴∠AME＝∠CAE ∴AE＝ME （3）连接AB

∵

∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB ∴△AEN∽△BEA ∴

2

∴AE＝BE?NE，且AE＝ME ∴ME＝BE?NE ∵

2

∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36° ∴∠BAD＝∠BNA＝72° ∴BA＝BN，且AE＝ME ∴BN＝ME ∴BM＝NE

∴ME＝BE?NE＝BM?BE

【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA是本题的关键．

3. （2019?湖南邵阳?8分）如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作CD⊥PB，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD． （1）求证：△APO～△DCA； （2）如图2，当AD＝AO时

2

①求∠P的度数；

②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由切线性质和直径AC可得∠PAO＝∠CDA＝90°，由PB∥AD可得∠POD＝∠CAD，即可得：△APO～△DCA；

（2）①连接OD，由AD＝OA＝OD可得△OAD是等边三角形，由此可得∠POA＝60°，∠P＝30°；

②作BQ⊥AC交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求

可转化为求

．

【解答】解：（1）证明：如图1，∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径， ∴∠PAO＝∠CDA＝90° ∵CD⊥PB ∴∠CEP＝90° ∴∠CEP＝∠CDA ∴PB∥AD ∴∠POA＝∠CAO ∴△APO～△DCA （2）如图2，连接OD， ①∵AD＝AO，OD＝AO ∴△OAD是等边三角形 ∴∠OAD＝60° ∵PB∥AD

∴∠POA＝∠OAD＝60° ∵∠PAO＝90°

∴∠P＝90°﹣∠POA＝90°﹣60°＝30°

②存在．如图2，过点B作BQ⊥AC交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ， 由①得：∠POA＝60°，∠PAO＝90° ∴∠BOC＝∠POA＝60° ∵OB＝OC ∴∠ACB＝60° ∴∠BQC＝∠BAC＝30° ∵BQ⊥AC， ∴CQ＝BC ∵BC＝OB＝OA

∴△CBQ≌△OBA（AAS） ∴BQ＝AB

∵∠OBA＝∠OPA＝30° ∴AB＝AP ∴BQ＝AP ∵PA⊥AC ∴BQ∥AP

∴四边形ABQP是平行四边形 ∵AB＝AP

∴四边形ABQP是菱形 ∴PQ＝AB ∴

＝

＝tan∠ACB＝tan60°＝

【点评】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．

4. （2019?湖南湘西州?12分）如图，△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD是⊙O的直径，与AB相交于点C，过点D作EF∥AB，分别交CA.CB的延长线于点E.F，连接BD． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求证：BD＝AC?BF．

2

【分析】（1）根据圆的对称性即可求出答案．

（2）先证明△BCD∽△BDF，利用相似三角形的性质可知：可求证BD＝AC?BF．

【解答】解：（1）∵AC＝BC，CD是圆的直径， ∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD， ∴CD⊥AB， ∵AB∥EF，

∴∠CDF＝∠CGB＝90°， ∵OD是圆的半径， ∴EF是⊙O的切线；

（2）∵∠BDF+∠CDB＝∠CDB+∠C＝90°， ∴∠BDF＝∠CDB， ∴△BCD∽△BDF，

2

，利用BC＝AC即