∵OF＝OB＝∴BF＝
22
a，
a，
2
∴BF＝a，OF?DF＝a?（a+a）＝a，
2
∴BF＝OF?DF，故④正确， 故答案为①③④．
【点评】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题． 三 解答题
1. （2019?湖南长沙?9分）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 真 命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
＝
＝
．求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求
的值．
【分析】（1）根据相似多边形的定义即可判断．
（2）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可．
（3）四边形ABFE与四边形EFCD相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明DE＝AE即可．
【解答】（1）解：①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题． 故答案为假，假，真．
（2）证明：如图1中，连接BD，B1D1．
∵∠BCD＝∠B1C1D1，且∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD， ∵∴
＝＝
＝，
，
＝
，
∵∠ABC＝∠A1B1C1， ∴∠ABD＝∠A1B1D1， ∴△ABD∽△A1B1D1，
∴∴，
＝＝
，∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1， ＝
＝
，∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1，∠ABC＝∠
A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2中，
∵四边形ABCD与四边形EFCD相似． ∴
＝
，
∵EF＝OE+OF， ∴
＝
，
∵EF∥AB∥CD， ∴∴∴
＝+＝
，＝，
＝+
＝，
，
∵AD＝DE+AE， ∴
＝
，
∴2AE＝DE+AE， ∴AE＝DE， ∴
＝1．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
2. （2019?湖南怀化?12分）如图，A.B.C.D.E是⊙O上的5等分点，连接AC.CE.EB.BD.DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH． （1）计算∠CAD的度数； （2）连接AE，证明：AE＝ME； （3）求证：ME＝BM?BE．
2
【分析】（1）由题意可得∠COD＝70°，由圆周角的定理可得∠CAD＝36°；
（2）由圆周角的定理可得∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，可求∠AME＝∠CAE＝72°，可得AE＝ME；
（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得即可得结论．
【解答】解：（1）∵A.B.C.D.E是⊙O上的5等分点， ∴
的度数＝
＝72°
，可得ME＝BE?NE，通过证明BM＝NE，
2
∴∠COD＝70° ∵∠COD＝2∠CAD ∴∠CAD＝36° （2）连接AE
∵A.B.C.D.E是⊙O上的5等分点， ∴
∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°