则NC=DH=2，MC=10，

设GN=t，则FM=2t，BK=14-2t， ∵△DHE∽△EKF，

∴DH=EK=2，HE=KF=14-2t， ∵MC=FK， ∴14-2t=10， 解得：t=2，

∵GN=EC=2，GN∥EC，

∴四边形GECN为平行四边形，∠ACB=90°， ∴四边形GECN为矩形， ∴∠EGN=90°，

∴当EC=2时，有∠DGE=90°， （ⅲ）当∠EDG=90°时，如图5：

过点G、F分别作AC的垂线交射线于点N、M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线交NG的延长线于点P，则PN=HC=BC-HB=12， 设GN=t，则FM=2t， ∴PG=PN-GN=12-t， ∵△DHE∽△EKF， ∴FK=2，

∴CE=KM=2t-2，

∴HE=HC-CE=12-（2t-2）=14-2t， ∴EK=HE=14-2t，

AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t， ∴MN=

AM=14-t，NC=MN-CM=t，

∴PD=t-2，

∵△GPD∽△DHE， ∴ 即

解得：t1=10- ∴CE=2t-2=18-2

，

，

，t2=10+ ；

，6-2

，2或18-2

.

（舍去），

综上所述：CE的长为=6+2

【考点】相似三角形的判定与性质，旋转的性质 【解析】【分析】（1）由旋转的性质得CD=CF，∠DCF=90°，由全等三角形判定AAS得△ADO≌△FCO，根据全等三角形性质即可得证.

（2）①分别过点D.F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF，由全等三角形判定和性质得DN=EM，根据勾股定理求得DN=EM=7，BF=5 案.

，由线段中点定义即可求得答

②过点D作DH⊥BC于点H，根据题意求得BD=2 ，再分情况讨论： （ⅰ）当∠DEG=90°时，画出图形； （ⅱ）当DG∥BC时，画出图形； （ⅲ）当∠EDG=90°时，画出图形；结合图形分别求得CE长.

16.（2019?浙江衢州?12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。

（1）求CD的长。

（2）若点M是线段AD的中点，求

的值。

（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？ 【答案】 （1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠DAC=

∠BAC=30°．

．

tan30°=2 在Rt△ADC中，DC=AC·（2）解：易得，BC=6

，BD=4

由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM． ∵AM=DM，

∴△DFM≌△AGM， ∴AG=DF．

由DE∥AC，得△BFE∽△BGA， ∴

∴

（3）解：∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q， ∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。 ① 当⊙Q与DE相切时，如图1，

过Q点作QH⊥AC，

并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG 设⊙Q的半径QP=r则QH= 解得r= ∴CG=

． ×

=4，AG=2．

，则

r，r+

r=2

，

易知△DFM∽△AGM，可得 ∴DM=

．

② 当⊙Q经过点E时，如图2，

过C点作CK⊥AB，垂足为K．

设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3

2

在Rt△EQK中，1+（

-r．

，

-r）2=r2 ， 解得r=

∴CG= × =

易知△DFM∽△AGM，可得DM= ③ 当⊙Q经过点D时，如图3，

此时点M与点G重合，

且恰好在点A处，可得DM=4 综上所述，当DM=

或

．

时，满足条件的点P只有一个。

【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用 【解析】【分析】（1）由角平分线定义得∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC长.（2）由题意易求得BC=6 ，BD=4 ，由全等三角形判定ASA得△DFM≌AGM，根据全等三角形性质得DF=AG，根据相似三角形判定得△BFE∽△BGA，由相似三角形性质得

，将DF=AG代入即可求得答案.（3）由圆周角

定理可得△CQG是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当⊙Q与DE相切时，结合题意画出图形，过点Q作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG，设⊙Q半径为r，由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；②当⊙Q经过点E时，结合题意画出图形，过点C作CK⊥AB，设⊙Q半径为r，在Rt△EQK中，根据勾股定理求得r，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM长；③当⊙Q经过点D时，结合题意画出图形，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，由此可得DM长.

17.（2019?浙江绍兴?14分）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF． （1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值． （2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．

（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值＝

，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为

＝

＝3，推出

＝

． ＝2，

（3）连接FN，ME．由k＝3，MP＝EF＝3PE，推出由△PNF∽△PME，推出

＝

＝2，ME∥NF，设PE＝2m，则PF＝4m，MP＝6m，