∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE， ∴∠ODE+∠OCE＝90°， ∴∠DOC＝90°， ∴∠AOD+∠COB＝90°， ∵∠AOD+∠ADO＝90°， ∴∠AOD＝∠OCB， ∵∠OAD＝∠OBC＝90°， ∴△AOD∽△BCO， ∴

＝

2

，

∴OA＝AD?BC， ∴（AB）＝AD?BC， ∴AB＝4AD?BC；

（2）解：连接OD，OC，如图2所示： ∵∠ADE＝2∠OFC， ∴∠ADO＝∠OFC，

∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC， ∴∠OFC＝∠FOC， ∴CF＝OC， ∴CD垂直平分OF， ∴OD＝DF，

在△COD和△CFD中，∴△COD≌△CFD（SSS）， ∴∠CDO＝∠CDF，

∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°， ∴∠ODA＝60°＝∠BOC， ∴∠BOE＝120°， 在Rt△DAO，AD＝

OA，

，

2

2

Rt△BOC中，BC＝∴AD：BC＝1：3， ∵AD＝1， ∴BC＝3，OB＝

，

OB，

∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S﹣π．

扇形

OBE＝2×

××3﹣＝3

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、扇形面积公式、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 15.（2019?浙江金华?10分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=14 分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF。

。点D，E

（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO． （2）已知点G为AF的中点。

①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长。 ②若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由。

【答案】 （1）解：由旋转的性质得： CD=CF，∠DCF=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，AD=BD， ∴∠ADO=90°，CD=BD=AD， ∴∠DCF=∠ADC， 在△ADO和△FCO中， ∵

，

∴△ADO≌△FCO（AAS）， ∴DO=CO， ∴BD=CD=2DO.

（2）解：①如图1，分别过点D.F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF，

∴∠DNE=∠EMF=90°，

又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF， ∴△DNE≌△EMF， ∴DN=EM，

又∵BD=7 ，∠ABC=45°， ∴DN=EM=7，

∴BM=BC-ME-EC=5， ∴MF=NE=NC-EC=5， ∴BF=5 ∴DG=

， BF=

；

∵点D.G分别是AB.AF的中点，

②过点D作DH⊥BC于点H， ∵AD=6BD，AB=14 ， ∴BD=2

，

（ⅰ）当∠DEG=90°时，有如图2.3两种情况，设CE=t，

∵∠DEF=90°，∠DEG=90°， ∴点E在线段AF上，

∴BH=DH=2，BE=14-t，HE=BE-BH=12-t， ∵△DHE∽△ECA， ∴ 即

2 解得：t=6±∴CE=6+2

， ， ，

，或CE=6-2 ，

（ⅱ）当DG∥BC时，如图4，过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA，连结FM，