∴抛物线平移的距离为3个单位长度．

【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式．易错的地方有第（1）题对点D.C.B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明．

6. （2019?湖南岳阳?10分）如图1，△AOB的三个顶点A.O、B分别落在抛物线F1：y＝

x+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧） （1）求点A.B的坐标；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；

（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2

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【分析】（1）把x＝﹣4代入抛物线F1解析式求得y即得到点A坐标；把y＝﹣2代入抛物线F1解析式，解方程并判断大于﹣4的解为点B横坐标．

（2）根据旋转90°的性质特点可求点A'、B'坐标（过点作x轴垂线，构造全等得到对应边相等）及OA'的长，用待定系数法求抛物线F2的解析式，进而求得对称轴．设点M纵

坐标为m，则能用m表示A'M、OM的长度．因为点A'恰好在以OM为直径的圆上，即∠OA'M为圆周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即求得A'M的长，OA'?A'M即求得△OA'M的面积．

（3）求直线OB'解析式，与抛物线F2解析式联立方程组，求解即求得点C坐标，发现A'与C纵坐标相同，即A'C∥x轴，故∠OA'C＝135°．以A.O、D为顶点的三角形要与△OA'C相似，则△AOD必须有一角为135°．因为点A（﹣4，﹣4）得直线OA与x轴夹角为45°，所以点D不能在x轴或y轴的负半轴，在x轴或y轴的正半轴时，刚好有∠AOD＝135°．由于∠AOD的两夹边对应关系不明确，故需分两种情况讨论：△AOD∽△OA'C或△DOA∽△OA'C．每种情况下由对应边成比例求得OD的长，即得到点D坐标．

【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）+×（﹣4）＝﹣4 ∴点A坐标为（﹣4，﹣4） 当y＝﹣2时，x+x＝﹣2 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6 ∵点A在点B的左侧 ∴点B坐标为（﹣1，﹣2）

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G ∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2 ∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB' ∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90° ∴∠B'OG＝∠OBE 在△B'OG与△OBE中

∴△B'OG≌△OBE（AAS） ∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限

2

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∴B'（2，﹣1）

同理可求得：A'（4，﹣4） ∴OA＝OA'＝

2

∵抛物线F2：y＝ax+bx+4经过点A'、B' ∴

解得：

2

∴抛物线F2解析式为：y＝x﹣3x+4 ∴对称轴为直线：x＝﹣

＝6

∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）

∴OM＝6+m，A'M＝（6﹣4）+（m+4）＝m+8m+20 ∵点A'在以OM为直径的圆上 ∴∠OA'M＝90° ∴OA'+A'M＝OM ∴（4

）+m+8m+20＝36+m

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解得：m＝﹣2 ∴A'M＝

∴S△OA'M＝OA'?A'M＝

（3）在坐标轴上存在点D，使得以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似． ∵B'（2，﹣1）

∴直线OB'解析式为y＝﹣x

＝8

解得：（即为点B'）

∴C（8，﹣4） ∵A'（4，﹣4） ∴A'C∥x轴，A'C＝4