1.6.1 几何解释

√无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对优化变量求目标函数的极小点。在优化空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。

√约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。

求目标函数z?f?x1,x2?在可行域D上的极小点，是在与可行域D有交集的等值线中找出具有最小值的等值线。

例1：二维非线性规划问题

2minF?X??x12?x2?4x1?4

s.t.g1?X???x1?x2?2?0g2?X??x12?x2?1?0g3?X???x1?0g4?X???x2?0

目标函数等值线是以点(2，0)为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，其无约束最优解是： X*??2,0?TFX*?0

??T约束方程所围成的可行域是D，此时X*??0.58，1.34?，F?X*??3.812

例2：非线性规划问题：

22minF?X???x1?2???x2?1?

s.t.x1?x2?5?0

由图易见约束直线与等值线的切点

就是最优点，利用解析几何的方法得到该切点和最优值为：

X*??3,2?,FX*?2

T??例3：非线性规划问题：

22minF?X???x1?2???x2?1?

s.t.2x1?x2?5x2?0x1?x2?5?0x1,x2?0

2解：①画出等式约束曲线x1?x2?5x2?0的图形。这是一条抛物线；

②画出不等式约束区域：x1?x2?5?0和x1,x2?0； ③画出目标函数等值线，以及等值线与可行集的切点。 可见可行域为曲线段ABCD。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：

2?x1?x2?5x2?0 ??x1?x2?5?0得出： X*??4,1?T1.6.2 优化问题的基本解法

FX*?4

??求解优化问题的基本解法有：解析法和数值解法。

1.6.2.1 解析法

利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。

局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。 1.6.2.2 数值解法

这是一种数值近似计算方法，又称为数值迭代方法。它是根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值的最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。

数值解法（迭代法）是优化设计问题的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的选取、最优步长的确定等。

数值计算的迭代方法具有以下特点： (1)是数值计算而不是数学分析方法；

(2)具有简单的逻辑结构并能反复进行同样的数值计算； (3)最后得出的是逼近精确解的近似解。

这些特点正与计算机的工作特点相一致。在数学规划中，采用

Xk?1?Xk??kdk进行迭代运算时，求n维函数f?X??f?x1,x2,?,xn?的极

值点的具体算法如下图所示。

一、求解步骤：

数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：

(1)首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X?0?，从X?0?出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X?1?点；

(2)得到新点X?1?后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从X?1?点出发再跨出一步，达到X?2?点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。 在中间过程中每一步的迭代形式为：

x(k?1)?x(k)???k?s(k)

fx(k?1)?fx(k),k?0，1，2，?

????上式中：x?k?—第k步迭代计算所得到的点， 称第k步迭代点，亦为第k步设计方案；

??k?—第k步迭代计算的步长； 图 迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图

s?k?—第k步迭代计算的探索方向。

用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如右图所示。 ? 运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：