(1)连接AC，BC，求证：△PAC ≌△PBC；
(2)如图1，若∠APB＝60°，PA＝4，求阴影部分的面积；
(3)如图2，若点O是△PAB的外心，判断四边形APBC的形状，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：∵PA＝PB，OA＝OB，∴∠CPA＝∠CPB. 又∵PC＝PC，∴△PAC ≌△PBC(SAS)． (2)∵∠APB＝60 °，PA＝PB，OA＝OB， ∴∠CPA＝∠CPB＝30 °，OP⊥AB. ∵PA＝4，∴AO＝2.
90π×221∴阴影部分的面积为－×2×2＝π－2.
3602
(3)四边形APBC是正方形．理由：∵点O是△PAB的外心，∴OA＝OB＝OP. ∵OC＝OA，∴OA＝OB＝OP＝OC. ∴四边形APBC是矩形．
又∵PA＝PB，∴四边形APBC是正方形．
24．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(4，a)，B(6，a)，C(6，a＋2)，直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过一定点E.
(1)求点E的坐标；
(2)如图1，若直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过点A与点C，求点D的坐标；
(3)如图2，当k＝a＋2＜0，且直线y＝kx－k＋1(k≠0)与正方形ABCD有交点时，求k的取值范围．
解：(1)当x＝1时，y＝k－k＋1＝1.
17
∴点E的坐标为(1，1)．
(2)∵直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过点A与点C，A(4，a)，C(6，a＋2)，
???a＝4k－k＋1，?k＝1，?∴解得? ???a＋2＝6k－k＋1，?a＝4.
∵四边形ABCD是正方形，A(4，a)，B(6，a)， ∴AD＝AB＝2.∴D(4，a＋2)． ∴D(4，6)． (3)∵k＝a＋2＜0，
1∴当直线经过点C时，有k＝6k－k＋1，解得k＝－；
43
当直线经过点A时，有k－2＝4k－k＋1，解得k＝－.
231
∴k的取值范围为－≤k≤－.
24
25．(本小题满分10分)如图1，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EDC，直线CD交直线AB于点M.
发现：AC＝1；
探究1：如图2，若点M恰好是AB的中点，DE交AB于点N，求MN的长； 探究2：在旋转过程中，当△BMD是等腰三角形时，求点A所旋转的路径长．(结果保留π)
解：探究1：∵∠ACB＝90 °，M是斜边AB的中点，AB＝2，∴CM＝BM＝1. ∴∠BCM＝∠B＝30 °.∴BC＝3.
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α(0 °＜α＜180 °)得到△EDC，
18
∴∠B＝∠D＝30 °，CD＝BC＝3.∴∠BCM＝∠D＝30 °.∴DE∥BC. ∴∠B＝∠DNM＝30 °.∴∠DNM＝∠D＝30 °. ∴MN＝DM＝CD－CM＝3－1.
探究2：①如图3，当0 °＜α＜90 °时，连接BD，由题意得CD＝BC. ∵∠DCB＝α，∴∠CDB＝∠CBD＝180 °－αα2＝90 °－2，
∠DMB＝α＋30 °，∠DBM＝90 °－αα
2－30 °＝60 °－2
.
当BM＝BD时，有∠CDB＝∠DMB，即90 °－α
2
＝α＋30 °，解得α＝40 °.
∴点A所旋转的路径长为402
180π×1＝9
π；
当DM＝DB时，有∠DMB＝∠DBM ，即α＋30 °＝60 °－α
2，解得α＝20 °.
∴点A所旋转的路径长为20180π×1＝1
9
π；
②如图4，当90 °≤α＜120 °时，∠CDB＝∠CBD＝180 °－αα
2＝90 °－2，
∴∠BDM＝30 °＋90 °－α2＝120 °－α
2
，
∠DBM＝90 °－α2－30 °＝60 °－α
2，∠BMD＝α.
易知此时不存在等腰三角形；
③如图5，当120 °≤α＜150 °时，∠CDB＝∠CBD＝180 °－αα
2＝90 °－2，
当DM＝DB时，∠M＝∠DBM＝11
2∠CDB＝45 °－4α.
∵∠DBM＝30 °－(90 °－α2)＝α
2－60 °，
∴45 °－14α＝α
2
－60 °.∴α＝140 °.
19
1407
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π；
1809
④如图6，当150 °≤α＜180 °时，易得当BD＝BM时，α＝160 °， 1608
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π.
1809
217
综上，在旋转过程中，当△BMD是等腰三角形时，点A所旋转的路径长为π或π或
9998
π或π.
9
26．(本小题满分12分)某企业计划对某种设备进行升级改造，升级改造结束后在一定时间内进行生产营销，设改造设备的台数为x.现有甲、乙两种改造方案：
甲方案：升级后每台设备的生产营销利润为4 000元，但改造支出费用Q甲由材料费、施工费以及其他费用三部分组成，其中材料费与x的平方成正比，施工费与x成正比，其他费用为2 500元(总利润＝生产营销利润－改造支出费用)．设甲方案的总利润为W甲(元)，经过调查分析，得到如下数据：
改造台数x 总利润W甲(元) 20 9 500 40 5 500 乙方案：升级后每台设备的生产营销利润为3 500元，改造支出费用Q乙与x之间满足函数关系式：Q乙＝(1 500＋20a)x(a为常数，60≤a≤90)，且在使用过程中一共还需支出维护费用4x2元(总利润＝生产营销利润－改造支出费用－维护费用)，设乙方案的总利润为W乙(元)．
(1)分别求W甲，W乙与x的函数关系式； (2)若W甲，W乙的最大值相等，求a的值；
(3)如果要将30台设备升级改造，请你帮助决策，该企业应选哪种方案，所获得的利润较大？
解：(1)由题意，可设W甲＝4 000x－(kx2＋bx＋2 500)， 又∵x＝20时，W甲＝9 500；x＝40时，W甲＝5 500，
20
∴???9 500＝4 000×20－（202k＋20b＋2 500），??k＝20，??5 500＝4 000×40－（402k＋40b＋2 500），解得???
b＝3 000. ∴W甲＝－20x2＋1 000x－2 500.
W乙＝3 500x－(1 500＋20a)x－4x2＝－4x2＋(2 000－20a)x. (2)∵W甲＝－20x2＋1 000x－2 500＝－20(x－25)2＋10 000， ∴W甲的最大值为10 000.
W（2 000－20a）2∵甲，W乙的最大值相等，∴－4×（－4）＝10 000.
解得a1＝80，a2＝120. 又∵60≤a≤90，∴a＝80.
(3)当x＝30时，W甲＝－20x2＋1 000x－2 500＝9 500， W乙＝－4x2＋(2 000－20a)x＝56 400－600a，
①当9 500＞56 400－600a时，解得a＞7811
6，即786＜a≤90时，选择甲方案．②当9 500＝56 400－600a时，解得a＝781
6
，选甲或乙均可．
③当9 500＜56 400－600a时，解得a＜7811
6，即60≤a＜786时，选择乙方案．21