∴OM?OB，
由题意可知：∴OA?OB，OA?OC，OBIOC?O， ∴OA?平面COB，
OM?平面COB，∴OA?OM，
又OAIOB?O， ∴OM?平面AOB.
（2）以O为坐标原点，以OM，OB，OA的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
uuuuruuuruuur
∵OM?平面AOB，∴MD在平面AOB上的射影是OD，
∴MD与平面AOB所成的角是?MDO，∴?MDO最大时，即OD?AB，点D为AB中点.
B(0,2,0)，C(3,?1,0)，A(0,0,2)，D(0,1,1)，CD?(?3,2,1)，
uuuruuuruuurrDB?(0,1,?1)，OD?(0,1,1)，设平面CDB的法向量n?(x,y,z)，
uuuvv??n?CD?0??3x?2y?z?0v由?vuuu，得?，令z?1，得y?1,x?3，
y?z?0???n?DB?0r所以平面CDB的法向量n?(3,1,1)，
uuuvvur??m?CD?0??3x?2y?z?0v同理，设平面CDO的法向量m??x,y,z?，由?vuuu，得?，
y?z?0???m?OD?0ur?3?3,1,?1?令y?1，得z??1,x?，所以平面CDO的法向量m??， ??33??urrurr3470105∴cos?m,n??，sin?m,n??1?， ?353535故二面角B?CD?O的正弦值为【点睛】
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470. 35本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 21．已知函数f(x)?a2x?cosx（a?R），f?(x)是f(x)的导数. 2（1）当a?1时，令h(x)?f?(x)?x?lnx，h?(x)为h(x)的导数.证明：h?(x)在区间
????0,?存在唯一的极小值点； ?2?（2）已知函数y?f(2x)?24???x在?0,?上单调递减，求a的取值范围. 3?2?【答案】（1）见解析；（2）a?1 【解析】（1）设g(x)?h?(x)??11????cosx，g'(x)?2?sinx，注意到g'(x)在?0,?xx?2?上单增，再利用零点存在性定理即可解决； （2）函数y?f(2x)?24??????x在?0,?上单调递减，则y'?0在?0,?恒成立，即3?2??2?44???2ax?sin2x?x3?0在?0,?上恒成立，构造函数m(x)?2ax?sin2x?x3，求
33?2?导讨论m(x)的最值即可. 【详解】
（1）由已知，f'(x)?x?sinx，所以h(x)?lnx?sinx， 设g(x)?h(x)?'1?1?cosx，g'(x)?2?sinx， xx??????'???'?'x?0,g?0当，且g(x)在?0,?上图??时，g(x)单调递增，而g(1)?0，???2??2??2?象连续
不断.所以g'(x)在?0,?????上有唯一零点?， 2?当x?(0,?)时，g'(x)?0；当x???,????'?时，g(x)?0； 2?∴g(x)在(0,?)单调递减，在??,极小
???????g(x)单调递增，故在区间??0,?上存在唯一的
2??2?第 18 页 共 22 页
???值点，即h(x)在区间?0,?上存在唯一的极小值点；
?2??（2）设k(x)?x?sinx，x??0,???，k?(x)?1?cosx?0， ∴k(x)在?0,???单调递增，k(x)?k(0)?0， 即x?sinx，从而sin2x?2x， 因为函数y?f(2x)?24???x在?0,?上单调递减， 3?2?43???
x?0在?0,?上恒成立， 3?2?
∴m(x)?2ax?sin2x?令m'(x)?2a?2cos2x?4x2?p(x)， ∵sin2x?2x，
∴p'(x)?4sin2x?8x?0，
???
m(x)在?0,?上单调递减，m'(x)max?m'(0)?2a?2，
?2?
'当a?1时，m'(x)?0，则m(x)在?0,
???
上单调递减，m(x)?m(0)?0，符合题意. ?2??
当a?1时，m'(x)在?0,
???
上单调递减，
?2??
???m'(0)?2a?2?0所以一定存在x0??0,?，
?2?当0?x?x0时，m?(x)?0，m(x)在?0,x0?上单调递增，m?x0??m(0)?0 与题意不符，舍去.
综上，a的取值范围是a?1 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是一道较难的题.
?1?t2x??2?1?t22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数）.点p?x0,y0??y?2t?1?t2?第 19 页 共 22 页
??m?2x0在曲线C上，点Q(m,n)满足?.
n?3y?0?（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q的轨迹C1的极坐标方程；
（2）点A，B分别是曲线C1上第一象限，第二象限上两点，且满足?AOB??2，求
11?的值.
|OA|2|OB|2【答案】（1）3p2cos2??4?2sin2??12（??????）；（2）
7 12【解析】（1）由已知，曲线C的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；
??13cos2?1?4sin2?1?（2）设A??1,?1?，B??2,?1??，由（1）可得2?，
2?12??1??????3cos2??1???4sin2??1??12?2?，相加即可得到证明. ???2?212【详解】
?1?t2??2t?22（1）x?y?????1， 2?2?1?t1?t????221?t222∵，∴，∴x?y?1(x??1)， x??1??1,1??21?tm?x?0??m2n22?m?2x0??????1(m??2)， 由题可知：?n43n?3y?0??y0??3?C1：3?2cos2??4?2sin2??12（??????）.
（2）因为??212，
3cos2??4sin2???设A??1,?1?，B??2,?1????， 2?3cos2?1?4sin2?1则2?， ?1121第 20 页 共 22 页