（1）求证：（2）求直线

平面与平面

；

所成角的正弦值.

.

【答案】（1）见解析； （2）【解析】 【分析】 （1）在所以又

中，由余弦定理可解得：

，所以

是直角三角形，

，所以,，

，即可证明

平面

；

为等边三角形，所以

（2）：由（1）可知，以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，所成角的正弦值.

轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线【详解】（1）证明：因为所以在

，中，

，，

，

，

，

，

与平面，

由余弦定理可得：解得：所以又为又所以又所以

平面平面

，.

，所以

的中点，所以

，所以

是直角三角形，

为等边三角形， ，所以平面

，

，

（2）解：由（1）可知

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，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，

轴建立空间直角坐标系，则所以设设

，为平面，则

，

，

，，

. ，即

，.

的法向量，则，即平面

，

的一个法向量为

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题. 20.已知椭圆的中心在原点，直线（1）求椭圆的方程； （2）若

是椭圆上的两点，且满足

； （2）.

，求

的最小值.

与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点.

【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）因为

与轴交点为，与轴交点为，

又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，即可求得a,b,进而得到椭圆的方程； （2）由题意知M、N是椭圆

上的两点，且OM⊥ON，故设M（r1cosθ，r1sinθ），

N（-r2sinθ，r2cosθ），由题设条件能够推出|MN|的最小值为． 【详解】（1）因为

与轴交点为

，与轴交点为

，

又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点， 所以椭圆的顶点为故所求椭圆方程为（2）由题意知

是椭圆

，，

上的两点，且

，

，故设

，

，

，其中

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于是从而

.

，，

又（当且仅当时取等号）

所以故所求

，即的最小值为.

，.

【点睛】本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答． 21.已知函数（1）求曲线（2）设【答案】（1）【解析】 【分析】

(1)求出导函数，得到切线斜率，利用点斜式得到切线方程；

. 在点，证明：

； （2）见解析.

处的切线方程；

.

（2）利用对数运算法则，原问题转化为证明且，利用

换元法，构建新函数，研究函数的单调性与最值即可. 【详解】（1）由题意所以因此

， 在点

处的切线方程为

，所以

，

，即

，又

，

（2）证明：因为由于

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等价于，令，

设函数

,

当所以所以所以

时，在 ，即

，所以，

，

上是单调递增函数，又，

等价于，

令设函数

，

,

当所以所以所以

时，在

，所以，

，

上是单调递减函数，又 ，即

综上①②可得：.

.根据差函

【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数

数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

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