中小学教育教学资料

当k=1时,ω∈答案:9

,所以正整数ω的最大值是9.

4.如图,M(xM,yM),N(xN,yN)分别是函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0)的图象与两条直线l1:y=m(A≥m≥0),l2:y=-m的两个交点,|xM-xN|=________.

【解题指南】设出另外两个交点和对称轴,根据对称性求解.

【解析】如图所示,作曲线y=f(x)的对称轴x=x1,x=x2,点M与点D关于直线x=x1对称,点N与点C关于直线x=x2对称,

所以xM+xD=2x1,xC+xN=2x2,所以xD=2x1-xM,xC=2x2-xN,又点M与点C,点D与点N都关于点B对称, 所以xM+2x2-xN=2xB,2x1-xM+xN=2xB,

所以xM-xN=2(xB-x2)=-,

所以|xM-xN|==.

答案:

5.已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.

(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值.

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.

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【解析】(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=,

所以f(α)=-=.

(2)因为f(x)=sin xcos x+cosx-

2

=sin 2x+-

=sin 2x+cos 2x

=sin,

所以T==π.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

6.已知函数f(x)=sin图象的相邻两对称轴之间的距离为,且在

x=时取得最大值1. (1)求函数f(x)的解析式.

(2)当x∈时,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3,求x1+x2+x3的取值范围.

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【解析】(1)=?T=π?=π?ω=2,

所以sin=sin=1,

所以+φ=2kπ+,k∈Z,

所以φ=2kπ+,k∈Z,

因为0≤φ≤,所以φ=,

所以f(x)=sin.

(2)画出该函数的图象如图,

当≤a<1时,方程f(x)=a恰好有三个根,且点(x1,a)和(x2,a)关于直线x=对称,点(x2,a)和(x3,a)关于

直线x=对称,所以x1+x2=,π≤x3<,所以≤x1+x2+ x3<.

7.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长

到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度. (1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程.

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β. ①求实数m的取值范围;

②证明:cos(α-β)=-1.

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【解析】(1)将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图

象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sin x,

从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z). (2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x

=

=sin(x+φ)

依题意,sin(x+φ)=(-,

).

在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是

②因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+

φ)=.

当1≤m<时,α+β=2,

即α+φ=π-(β+φ);

当-

即α+φ=3π-(β+φ); 所以cos(α+φ)=-cos(β+φ), 于是cos(α-β)=cos[(α+φ)-(β+φ)] =cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)