南京邮电大学数学实验练习题参考答案 下载本文

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200150100500-50-1-0.500.511.522.533.54

由图可以看出,在x<1时,图形受k值影响不大,x>1时k值对图形的影响比较显著,通过改变k值画图发现:在-4附近,k小于-4时,曲线在某[a,b](a>0)区间内是上凸的,在其他区间内上凹;k大于-4时,上面的凸区间不存在,也就是曲线总是上凹的。

(b) f??(x)?12x?6kx?12,判别式??36k?576?36(k?4),当k??4时,判别式为0,|k|?4时判别式大于0,|k|?4时判别式小于0;也就是|k|?4时f??(x)有两个零点,k??4时f??(x)有一个零点

2222|k|?4时f??(x)没有零点。由二阶导数与凹凸性的关系可知,在k=-4附近,

(a)中关于曲线凹凸的判断基本上是正确的

三、对于级数

1,通过下面的步骤探索它的行为 ?32nsinnn?11,当你试图求limsk时,发生了什?32k??n?1nsinn数学实验实验报告

k?1. 对于其部分和数列sk?49

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么?

解答:用命令sk=symsum(1/n^3/(sin(n))^2,1,k)及limit(sk,k,inf)得不到结果,命令symsum(1/n^3/(sin(n))^2,1,inf)也得不到结果。这表明极限可能并不存在。

2. 画出部分和数列的前100个点(k,sk),它们是否显示出收敛?你估计

极限是多少?

解答:前100个点(k,sk)图形如下

54.543.532.521.510102030405060708090100

上图似乎显示着sk的极限存在,并且极限值约为4.8左右

3. 接着画出部分和数列的前200个点(k,sk),用你自己的话论述部分和

数列的行为。

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54.543.532.521.51020406080100120140160180200

此图可以更加确定,部分和数列sk的极限是存在的,结论跟2中的一样

4. 画出前400个点(k,sk),当k=355时发生了什么?计算数355/113,

通过你的计算解释当k=355时发生了什么。你猜测对k的什么值同一现象可能还会出现,并通过实验加以验证。

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302520151050050100150200250300350400

解答:

此图否定了2与3的推断,因为部分和数列在k=355时发生了跳跃;355/113=3.141592920353983近似等于圆周率?(约为3.141592653589793),也就是355?113?,而sin113?=0,因此sin335的值很小,对应于部分和sk,在k=355时由于分母很小因而得到一个很大的加项,于是图形上的点发生了跳跃。我们可以通过观察或计算?的倍数来获得sk的比较大的加项,由于710=355*2?226?,因此sk在k=710时也会发生跳跃;我们也可直接由命令(1:500)*pi观察1500以内的数哪些接近?的倍数(此略)。 另外,由?的各种分数表示(近似)可知,以上的部分和sk在k=22时也会发生跳跃,因为??22355。同上,当k=44,66,88,110,132等等时,?7113sk也会发生跳跃,但由于误差扩大,跳跃幅度相对应该比较小。

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