示成基本事件的和 [化解疑难] 对古典概型的认识

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．例如，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽．这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为300±0.6 mm的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个，因此这个试验也不属于古典概型.

古典概型的概率公式 [导入新知] 古典概型的概率公式

对于任何事件A，P(A)＝[化解疑难]

频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

A包含的基本事件的个数基本事件的总数. 频率 古典概型的概率

不同点 频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 相同点 都计算了一个比值 m是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化 nmn

基本事件的计数问题 [例1] (1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为( )

A．2 C．4

B．3 D．6

(2)连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上． ①写出这个试验的所有基本事件； ②求这个试验的基本事件的总数；

③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？

[解] (1)选C 用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．

(2)①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；

②这个试验包含的基本事件的总数是8；

③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．

[类题通法]

基本事件的两个探求方法

(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法．(关键词：基本事件的总数)

(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合于较复杂的试验的题目．(关键词：结构关系)

[活学活用]

一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球和3个编有不同号码的黑球，从中任意摸出2个球．

(1)写出所有的基本事件；

(2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件？

解：(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球，基本事件共有6个：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．

(2)事件“摸出的2个球是黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)}，包括3个基本事件.

对古典概型的判断 [例2] (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？

(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)．你认为这是古典概吗？为什么？

[解] (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所有

可型

能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能性相同，这个试验不是古典概型．

(2)试验的所有可能结果只有11个，但是命中10环，命中9环，…，命中1环和命中0环(即不命中)的出现不是等可能的，这个试验不是古典概型．

[类题通法]

判断一个试验是古典概型的依据

判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．

[活学活用]

下列试验是古典概型的为________(填序号)．

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 ②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率 ③近三天中有一天降雨的概率

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率

解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．

答案：①②④

简单的古典概型的概率计算 [例3] 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．

[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝62

＝. 155

(2)由(1)知任取2道题的基本事件共有15个，用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，8共8个，所以P(B)＝.

15

[类题通法]

求解古典概率“四步”法

[活学活用]

(山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，

y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n＝16.

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．

55

所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.

1616(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.

则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所63

以P(B)＝＝.

168

事件C包含的基本事件数共5个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 535

所以P(C)＝.因为＞，

16816

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．