3.2.1 古典概型
1．基本事件有哪些特征？
2．如何判断一个试验是否是古典概型？
3．古典概型的概率公式是什么？
有序和无序型问题 [例1] 从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． [解] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．
用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件， 所以A＝{a1，b，
a2，b，b，a1，b，a2
}.
因为事件A由4个基本事件组成， 42
所以P(A)＝＝. 63
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而
P(B)＝. [类题通法]
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺
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序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个基本事件．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
[活学活用]
一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,121和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.
63
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 3
所以，满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，
16故满足条件n＜m＋2的事件的概率为 313
1－P1＝1－＝.
1616
数字型问题 [例2] 某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求： (1)头两位数字都是8的概率； (2)头两位数字都不超过8的概率．
[解] 电话号码每位上的数字都可以由0,1,2，…，9这十个数字中的任意一个数字组成， 故试验基本事件总数为n＝10.
(1)记“头两位数字都是8”为事件A，则若事件A发生，头两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m1＝10.所以由古典概型
6
8
m11061
概率公式，得P(A)＝＝8＝＝0.01.
n10100
(2)记“头两位数字都不超过8”为事件B，则事件B的头两位数码都有9种选法，即从0～8这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法，
故事件B所包含的基本事件数为m2＝81×10.
6
m281×106
所以由古典概型概率公式，得P(B)＝＝＝0.81. 8
n10
[类题通法]
解决数字型问题
(1)电话号码及密码问题中，每个数字在各个位置出现的机会是相等的，且首位也可以为0.
(2)由于此类问题的基本事件数目较大，且很难一一列举，常借助整数的有关性质求解．
[活学活用]
储蓄卡的密码是一种六位数字号码，每位上的数字可以从0到9这10个数字中任取． (1)如果某人拾到储蓄卡一张，随意按下六位号码正好按对密码的概率是多少？ (2)若某人未记准储蓄卡密码的后两位数字，随机按下两位数字正好按对密码的概率是多少？
解：(1)由储蓄卡的密码是六位数字号码，且每位上的数字都有从0到9共10种取法，故这种号码共有10个．由于随意按下一个六位号码，无论按下哪个号码的可能性都是均等的，1
故正好按对密码的概率P＝6.
10
(2)按六位号码的后两位数字共有10×10＝100种按法，随意按下后两位数字，每一种按法机会均等，故按对的概率为P＝
1. 100
概率与统计的综合问题 [例3] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．
[解] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，
6
A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1，A2)，(A1，
A3)，(A2，A3)，共3种．
31
所以P(B)＝＝.
155[类题通法]
使用古典概型的概率公式的两个关键点
(1)审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键．(关键词：不重不漏)
(2)编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，可以使问题得以简单地表示，这是解决古典概型问题时主要的解题技巧．(关键词：简单的数字和字母)
[活学活用]
某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone手机的1 000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组(岁) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) 合计 频数 5 x 35 y 10 100
(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone 7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．
解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，